Найдите наименьшее значение функции?

ElsaFR Лучший ответ 30 дек. 2017 г., 11:30:25

$y'=(2x-39)*e^{2-x}-(x^{2}-39x+39)*e^{2-x}=e^{2-x}*(2x-39-x^{2}+39x-39)=e^{2-x}*(-x^{2}+41x-78)=0$

$e^{2-x}*(-x^{2}+41x-78)=0$

$e^{2-x} \neq 0$

$-x^{2}+41x-78=0$

$x^{2}-41x+78=0, D=41^{2}-4*78=1369=37^{2}$

$x_{1}= \frac{41-37}{2}=2$ - точка минимума

$x_{2}= \frac{41+37}{2}=39$ - точка максимума

При х∈( - ∞ ; 2)U(39 ; + ∞) производная отрицательная, функция убывает

При х∈(2 ; 39) производная положительная, функция возрастает

x∈[0 ; 6] - в этот интервал попадает точка минимума х = 2 :

$y(2)=(4-78+39)*e^{2-2}=-35$

$y(0)=39*e^{2}\ \textgreater \ 0$

$y(6)=(36-234+39)*e^{2-6}=-159*e^{-4}=- \frac{159}{e^{4}}$

Ответ : наименьшее значение функции на [0 ; 6] равно - 35.

Киллер8 Лучший ответ 30 дек. 2017 г., 11:30:30

Y` = (x² - 39x + 39)` * e ^ (2 - x) + (e ^ (2 - x))` * (x² - 39x + 39) = (2x - 39) * e ^ (2 - x) - e ^ (2 - x) * (x² - 39x + 39) = = e ^ (2 - x) * (2x - 39 - x² + 39x - 39) = e ^ (2 - x) * ( - x² + 41x - 78) = 0

e ^ (2 - x)> ; 0 при любом х

х² - 41х + 78 = 0

х1 + х2 = 41 и х1 * х2 = 78

х1 = 2∈[0 ; 6]

х2 = 39∉[0 ; 6]

y(0) = 39 * e²≈39 * 7, 4≈288, 6

y(2) = (4 - 78 + 39) * 1 = - 35 наименьшее

y(6) = (36 - 234 + 39) * e ^ - 4 = - 159 / e ^ 4≈ - 159 : (54, 6)≈ - 3.