Докажите, что число (√2 - 1)в сотой степени можно представить в виде √m + 1 - √m, где m натуральное число?

Kotiko12345678 17 окт. 2018 г., 12:21:55

Если в числе $( \sqrt{2} -1)^{100}$ раскрыть 100 - ую степень по биному Ньютона, то получится сумма слагаемых вида $C_{100}^k(\sqrt{2})^{k}(-1)^{100-k}$ по k от 0 до 100.

При четных k эти слагаемые будут натуральными числами, а при нечетных k они имеют вид $-a\sqrt{2}$, где а - натуральное.

Значит, $( \sqrt{2} -1)^{100}=A-B\sqrt{2}$, при некоторых натуральных $A$ и $B$.

(для решения задачи нет нужды их явно вычислять).

Опять же из бинома Ньютона понятно, что тогда $( \sqrt{2} +1)^{100}=A+B\sqrt{2}$, т.

К. в нем будут те же слагаемые, только все со знаком плюс.

Перемножив эти два соотношения, получим $A^2-2B^2=(A-B\sqrt{2})(A+B\sqrt{2})=(\sqrt{2}-1)^{100}(\sqrt{2}+1)^{100}=1$, то есть $A^2=2B^2+1$.

Поэтому, если положим $m=2B^2$, то получим, что [img = 10].

Olyatkachenko2 15 авг. 2018 г., 17:54:50 | 5 - 9 классы

Нужно представить в виде степени с основанием 3 число : 243 во второй степени?

Нужно представить в виде степени с основанием 3 число : 243 во второй степени.

Arinapolever 28 сент. 2018 г., 13:30:35 | 5 - 9 классы

Докажите, что сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число?

Докажите, что сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число.

Sobacha31 31 июл. 2018 г., 01:41:53 | 5 - 9 классы

Представь данное число в виде произведения степеней и простых чисел 567?

Представь данное число в виде произведения степеней и простых чисел 567.

Mi200375 22 нояб. 2018 г., 22:39:50 | 5 - 9 классы

Какие действительные числа можно и какие нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному?

Какие действительные числа можно и какие нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному.

SASHA20001701 21 авг. 2018 г., 07:19:12 | 5 - 9 классы

Представить число 50625 в виде произведения степеней простых чисел?

Представить число 50625 в виде произведения степеней простых чисел.

Буээ 13 нояб. 2018 г., 02:51:48 | 5 - 9 классы

4 в степени с умножить на 4 в степени 5 (задание : пусть С НАтуральное число) представить приложение в виде степени)?

4 в степени с умножить на 4 в степени 5 (задание : пусть С НАтуральное число) представить приложение в виде степени).

Lyuba85 26 апр. 2018 г., 03:00:37 | 5 - 9 классы

Представь данное число в виде произведения степеней и простых чисел 44?

Представь данное число в виде произведения степеней и простых чисел 44.

199900 3 июн. 2018 г., 17:20:22 | 5 - 9 классы

Представь данное число в виде произведения степеней и простых чисел 48?

Представь данное число в виде произведения степеней и простых чисел 48.

Qazzaq1234554321 17 авг. 2018 г., 04:38:45 | 5 - 9 классы

Как представить число 1997 в виде разности квадратов двух натуральных чисел?

Как представить число 1997 в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

B1lat123noypar333n 9 февр. 2018 г., 20:38:02 | 5 - 9 классы

Представь число 21875 в виде степени?

Представь число 21875 в виде степени.