Решите неравентсво?

Kyltisheva79 1 нояб. 2020 г., 17:08:10

$x^4-x^3-4x^2-x+1\ \textgreater \ 0$

Для начала решим уравнение :

$x^4-x^3-4x^2-x+1=0$

Решим методом неопределенных коэффициентов.

Зная, что любой многочленчетвертой степени можно разложить на два квадратных многочлена, применим схему :

$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=\\x^4+ax^3+cx^3+acx^2+bx^2+dx^2+bcx+adx+bd=\\ x^4+x^3(a+c)+x^2(ac+b+d)+x(ad+bc)+bd$

Составим систему уравнений :

$\left\{\begin{matrix} a &+ &c &= &-1 & & \\ ac &+ &b &+ &d &= &-4 \\ ad &+ &bc &= &-1 & & \\ bd &= &1 & & & & \end{matrix}\right.$

Подберем к четвертому уравнению пару, удовлетворяющую нашей системе :

$\left\{\begin{matrix} b &= &1 \\ d &= &1 \end{matrix}\right.\ \ \left\{\begin{matrix} b &= &-1 \\ d &= &-1 \end{matrix}\right.$

Нам подошла система первой пары.

Подставляем и решаем уравнение :

$a=-1-c$

$c(-1-c)+1+1=-4\\ -c-c^2+2=-4\\ -c^2-c+6=0\ |:(-1)\\ c^2+c-6=0\\ D=1+24=25; \sqrt{D} =5\\\\ c_{1/2}= \frac{-1\pm5}{2} \\ c_1=-3\\ c_2=2$

Возьмем любое значение с и выполним проверку :

$ad+bc=-1\\ 2\cdot(-3)+1+1=-4\\ -6+2=-4\\ -4=-4$

Итог : $a=-3\\ b=1\\ c=2\\ d=1$

Возвращаемся к нашей схеме.

Подставим все найденные элементы :

$(x^2-3x+1)(x^2+2x+1)=0\\\\ x^2-3x+1=0\\ D=9-4=5; \ \sqrt{D} =\sqrt{5}\\\\ x_{1/2}= \frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \\\\\\ (x+1)^2=0\\ x+1=0\\ x=-1$

__ + __ - 1__ + __[img = 10]__ - __[img = 11]__ + __

Ответ : [img = 12].

Мальцееееееееев 1 нояб. 2020 г., 17:08:15

$x^4 - x^3 - 4x^2-x+1>0 \ ;$

Найдём нули функции :

$f(x) = x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 \ ;$

Для этого решим уравнение :

$x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0 \ ;$

По теореме Безу о модулях рациональных корней многочлена, которая гласит, что их числители являются делителями свободного слагаемого, а знаменатели – делителями старшего коэффициента, находим, что модуль возможного корня единственный :

$|x| = 1 \ ;$

Проверим :

$x = \pm1 \ \ \ : \ \ \ f(\pm1) = (\pm1)^4 - (\pm1)^3 - 4 \cdot (\pm1)^2 \mp 1 + 1 = 1 \mp 1 - 4 \mp 1 + 1 = -2 \mp 2 \ ;$

Откуда ясно, что $f(x=-1) = -2 + 2 = 0 \ ;$

Итак $x=-1 \$ – один из корней указанного уравнения.

По теореме Виета исследуемый многочлен должен делиться без остатка на $(x+1) \ ,$ выделим этот множитель :

$x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = x^3 (x+1) - 2x^3 - 4x^2 - x + 1 = \\\\ = x^3 (x+1) - 2x^2(x+1) - 2x^2 - x + 1 = \\\\ = x^3 (x+1) - 2x^2(x+1) - 2x(x+1) + x + 1 = \\\\ = (x+1) ( x^3 - 2x^2 - 2x + 1 ) \ ;$

По теореме Безу о модулях рациональных корней многочлена, в применении уже к кубическому многочлену, стоящему в длинной скобке, находим, что модуль возможного корня единственный :

$|x| = 1 \ ;$

Проверим :

[img = 10]

Откуда ясно, что [img = 11] – кратный корень,

который подходит и в кубический многочлен.

Итак [img = 12] – двойной корень указанного уравнения.

По теореме Виета исследуемый многочлен должен дважды делиться без остатка на [img = 13] выделим этот множитель вторично :

[img = 14]

Таким образом :

[img = 15]

И не составит никакого труда решить уравнение :

[img = 16]

[img = 17]

[img = 18]

[img = 19]

[img = 20]

По теореме Виета мы можем переписать исходное неравенство, как :

[img = 21]

[img = 22]

С учётом знака и степени при старшем коэффициенте – функция, очевидно, монотонно уходит на [img = 23] при [img = 24]

При переходе через [img = 25] функция не меняет знака, так как корень чётный, однако нужно понимать, что сам корень не удовлетворяет строгому неравенству.

При переходе через [img = 26] функция меняет знак, а сами корни тоже не удовлетворяет строгому неравенству.

Окончательно имеем :

[img = 27]

– неравенство удовлетворено.

[img = 28]

– неравенство НЕ удовлетворено.

О т в е т : [img = 29].

Foxveny 1 июн. 2020 г., 14:50:47 | 10 - 11 классы

X(2 - x)> ; 0 решить неравентсво?

X(2 - x)> ; 0 решить неравентсво.

999андрей999000 24 сент. 2020 г., 07:12:17 | 5 - 9 классы

Решите неравентсво f'(x)больше 0f(x) = - 3xкубе + 2xквадрат?

Решите неравентсво f'(x)больше 0

f(x) = - 3xкубе + 2xквадрат.

Dasha2002100 17 сент. 2020 г., 14:00:57 | 5 - 9 классы

- 2(9x - 8) - 5 больше 19 - 10x решите неравентсво?

- 2(9x - 8) - 5 больше 19 - 10x решите неравентсво.

LiKCa 12 нояб. 2020 г., 14:40:46 | 5 - 9 классы

Помогите решить двойное неравентсво - 15< ; x - 4< ; - 14?

Помогите решить двойное неравентсво - 15< ; x - 4< ; - 14.

Shanhai48 18 дек. 2020 г., 18:08:23 | 5 - 9 классы

Решите неравентсво ?

Решите неравентсво :

Авававаы 1 июн. 2020 г., 04:36:45 | 1 - 4 классы

Реши Неравентсва : 1) 800< ; 328 + 574?

Реши Неравентсва : 1) 800< ; 328 + 574.

Kiselkovaalina 20 мая 2020 г., 22:02:44 | 5 - 9 классы

Помогите плиз решить систему неравентсв?

Помогите плиз решить систему неравентсв!

051203 4 авг. 2020 г., 06:08:43 | 5 - 9 классы

|2х - 4|≥16 решите данное неравентсво с переменной под знаком модуля?

|2х - 4|≥16 решите данное неравентсво с переменной под знаком модуля.

Iriono13 8 авг. 2020 г., 18:58:26 | 5 - 9 классы

Решите неравентсво 16х ^ 2 ≤0?

Решите неравентсво 16х ^ 2 ≤0.

BonnieFazbear 20 мая 2020 г., 15:00:54 | 5 - 9 классы

Решите неравентсва а) 18 - 8(х - 2)?

Решите неравентсва а) 18 - 8(х - 2).