Помогите найти общее решение уравнения пожалуйста?

Блум65 1 апр. 2021 г., 18:39:14

Найти общее решение дифференциального уравнений

у' + 2y - y² = 0

Решение

у' + 2y - y² = 0 у' = y² - 2у

Разделим обе части уравнения на у² - 2у

$\frac{y'}{y^2-2y} =1$

Интегритуем обе части уравнения

$\int\limits{ \frac{y'}{y^2-2y} } \, dy = \int\limits{} \, dx$

Для нахождения интеграла в левой части уравнения разложим дробь на сумму дробей

$\frac{1}{y^2-2y}= \frac{1}{y(y-2)}= \frac{1}{2(y-2)}- \frac{1}{2y}$

Подставляем в интеграл

$\int\limits{ \frac{y'}{y^2-2y} } \, dy=\int\limits{(\frac{1}{2(y-2)}- \frac{1}{2y}) \, dy= \frac{1}{2} \int\limits{\frac{1}{y-2} \, dy-\frac{1}{2} \int\limits{\frac{1}{y} \, dy=$$\frac{1}{2}ln(y-2)- \frac{1}{2}ln(y)= \frac{1}{2}ln( \frac{y-2}{y} )= \frac{1}{2}ln(1- \frac{2}{y})$

Интеграл правой стороны уравнения равен

$\int\limits{} \, dx=x+\frac{1}{2}ln(C)$

Получили

$\frac{1}{2}ln(1- \frac{2}{y}) =x+\frac{1}{2}ln(C)$

$ln(1- \frac{2}{y}) =2x+ln(C)$

$1- \frac{2}{y} =e^{2x+ln(C)}$

$\frac{2}{y} =1-Ce^{2x}$

[img = 10]

Можно представить и вдругом виде если разделить числитель и знаменатель на С и заменить 1 / С на С1

[img = 11].

Timurpestrikov 27 мар. 2021 г., 00:20:48 | 10 - 11 классы

Помогите найти общее решение системы дифференциальных уравнений?

Помогите найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

LizkaPolyakova 18 мая 2021 г., 22:51:02 | 10 - 11 классы

Помогите найти общее решение дифференциального уравнения?

Помогите найти общее решение дифференциального уравнения.

SomeWayToLive 9 янв. 2021 г., 21:21:06 | 10 - 11 классы

Помогите найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка?

Помогите найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

Mari4kabachalo 15 июл. 2021 г., 02:45:24 | 10 - 11 классы

Помогите найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка?

Помогите найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

Юля1617 26 мая 2021 г., 22:12:13 | 10 - 11 классы

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения?

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее начальным условиям (x0, y0).

Xoshimov97 11 июн. 2021 г., 10:44:08 | студенческий

Помогите пожалуйста) найти общее решение дифференциального уравнения 2yy'' = (y') ^ 2?

Помогите пожалуйста) найти общее решение дифференциального уравнения 2yy'' = (y') ^ 2.

Sergobro1900 4 июн. 2021 г., 09:44:18 | 5 - 9 классы

Найти общие решения дифференциальных уравнений?

Найти общие решения дифференциальных уравнений.

Satkanayana 28 июн. 2021 г., 22:07:29 | 10 - 11 классы

Помогите пожалуйста?

Помогите пожалуйста.

Найти общее решение(общий интеграл) дифференцируемого уравнения.

Задание прикрепляю.

Если можно, то с подробным решением.

Anyasukach2001 6 сент. 2021 г., 02:12:44 | студенческий

Найти общее решение дифференциального уравнения?

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Kircvz 10 сент. 2021 г., 01:23:05 | 5 - 9 классы

Найти общее решение дифференциального уравнения?

Найти общее решение дифференциального уравнения.