При каких натуральных n число 2 ^ n + 65 является квадратом натурального числа?

Dina200379 28 июн. 2021 г., 20:21:52

Все натуральные числа представимы в одном из видов 5k, 5k + - 1, 5k + 2, тогда квадраты дают остатки 0, 1 и 4 при делении на 5.

65 делится на 5, тогда, чтобы получился полный квадрат, необходимо, чтобы 2 ^ n давало остаток 0, 1 или 4 при делении на 5.

Вычисляем остатки от деления на 5 степеней двойки :

2 ^ 1 = 2 = 2 (mod 5) — неподходящий остаток

2 ^ 2 = 4 = 4 (mod 5)

2 ^ 3 = 8 = 3 (mod 5) — неподходящий остаток

2 ^ 4 = 16 = 1 (mod 5)

2 ^ 5 = 32 = 2 (mod 5) — такой же остаток, что и у 2 ^ 1,

.

Так как остаток при делении степени на 5 зависит только от остатка при делении на 5 предыдущей степени, то из того, что 2 ^ 1 и 2 ^ 5 дают одинаковые остатки, следует, что последовательность остатков периодична с периодом 4.

Значит, так как при показателях, меньших 5, подходили только степени с чёётным показателем, то можно сделать вывод, что n чётно, n = 2m.

2 ^ (2m) + 65 = k ^ 2

k ^ 2 - (2 ^ m) ^ 2 = 65

(k + 2 ^ m)(k - 2 ^ m) = 65

65 можно разложить на два множителя следующими способами : 65 = 65 * 1 = 13 * 5.

Получаем два возможных варианта :

1) k + 2 ^ m = 65, k - 2 ^ m = 1

Вычитаем из первого уравнения второе, получаем 2 * 2 ^ m = 64, m = 5, n = 10 (тогда 2 ^ 10 + 65 = 1089 = 33 ^ 2)

2) k + 2 ^ m = 13, k - 2 ^ m = 5

2 * 2 ^ m = 8

m = 2

n = 4 (в этом случае 2 ^ n + 65 = 81 = 9 ^ 2).

Ответ.

При n = 4 и n = 10.

Artyom07Ru 1 янв. 2021 г., 12:10:40 | 10 - 11 классы

Не пользуясь калькулятором, определите является ли данное число квадратом или кубом некоторого натурального числа :61465645212176?

Не пользуясь калькулятором, определите является ли данное число квадратом или кубом некоторого натурального числа :

614656

45212176.

Аям 4 янв. 2021 г., 06:56:20 | 5 - 9 классы

Разность любых двух натуральных чисел является натуральным числом?

Разность любых двух натуральных чисел является натуральным числом.

Ник2305 12 янв. 2021 г., 05:37:43 | 5 - 9 классы

Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата является чётным числом?

Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата является чётным числом.

Dronovartem 10 мар. 2021 г., 02:01:54 | 1 - 4 классы

Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата являются четным числом?

Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата являются четным числом.

Nic356454 21 июл. 2021 г., 19:04:03 | 5 - 9 классы

Наугад выбрано натуральное число от 1 до 1000000?

Наугад выбрано натуральное число от 1 до 1000000.

Какова вероятность того, что оно окажется квадратом натурального числа?

Про100натали 24 июл. 2021 г., 03:55:15 | 10 - 11 классы

Натуральное число n таково, что числа 3n + 1 и 10n + 1 являются квадратами натуральных чисел?

Натуральное число n таково, что числа 3n + 1 и 10n + 1 являются квадратами натуральных чисел.

Докажите, что число 29n + 11 составное.

Skywalker2000 3 нояб. 2021 г., 05:33:26 | 5 - 9 классы

Назовем число n² — 1 почти квадратом натурального числа n?

Назовем число n² — 1 почти квадратом натурального числа n.

Докажите, что произведение двух почти квадратов натуральных чисел всегда равно разности каких - то двух квадратов натуральных чисел.

Armanchiki 15 сент. 2021 г., 17:48:28 | 5 - 9 классы

При каких натуральных значениях n выражение 10 / n + 2 является натуральным числом?

При каких натуральных значениях n выражение 10 / n + 2 является натуральным числом.

Nik227733 17 окт. 2021 г., 21:28:44 | 5 - 9 классы

При каких натуральных х выражение х² - 4х + 11 является квадратом натурального числа?

При каких натуральных х выражение х² - 4х + 11 является квадратом натурального числа?

Поліна6 26 нояб. 2021 г., 00:40:27 | 5 - 9 классы

Известно, что числа N - 8 и N + 9 являются квадратами натуральных чисел?

Известно, что числа N - 8 и N + 9 являются квадратами натуральных чисел.

Найти натуральное число N.