Нужна помощь в решении показательного уравнения?

Кристина12461 7 апр. 2021 г., 09:26:57

Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, можно сразу указать область определения :

2 + x≥0, или x≥ - 2.

Заметим, что - 2 является корнем уравнения (4 - 8 + 1 + 3 = 0).

Далее рассмотрим левую часть уравнения и представим её в виде суммы двух слагаемых : x ^ 2 + 4x + 3 и 2 ^ (sqrt(2 + x)).

Первая часть — квадратный трёхчлен.

Так как коэффициент при x ^ 2 положителен, можно найти х, при котором принимается минимальное значение (на графике это будет абсцисса вершины параболы).

Формула : х_вершины = - b / (2a), то есть x_вершины = - 4 / (2 * 1) = - 2!

Получается, что в точке - 2 будет приниматься наименьшее значение ( - 1), на всём остальном луче ( - 2 ; + ∞) значение трёхчлена будет возрастать.

Вторая часть — показательная функция, являющаяся возрастающей (так как 2>1).

При х = - 2 она принимает значение 1 (2 ^ 0), а на остальном луче её значение будет возрастать.

Так как значение первого слагаемого на луче ( - 2 ; + ∞) будет больше - 1, а второго — больше 1, то их сумма всегда будет больше нуля.

Таким образом, данное уравнение имеет лишь одно решение : х = - 2.

NIGHTWOLF23 7 апр. 2021 г., 09:26:59

1 способ решения : (свойство монотонности функций)

ОДЗ :

2 + х≥0 ⇒ х≥ - 2

$x^2+4x+2^{\sqrt{2+x}}+3=0 \\ x^2+4x+4-1+2^{\sqrt{2+x}}=0\\ (x+2)^2-1=-2^{\sqrt{2+x}}$

Графиком функции :

$y=(x+2)^2-1$

является парабола с вершиной в точке ( - 2 ; - 1).

УчитываяОДЗ : x≥ - 2

Функция монотонно возрастает на промежутке [ - 2 ; + ∞)

$y=-2^{\sqrt{2+x}}$

является монотонно убывающей функцией.

Если возрастающая функция равна убывающий, то уравнение имеет только один корень (если он есть)

Для таких задач корень находится подбором.

Если в исходном уравнении сумма чисел равна нулю, то корень (если он существует) будет отрицательный.

Нетрудно догадаться, что x = - 2 (нужно было подобрать такой x, чтобы корень в показателе степени извлекся)

Ответ : - 2

2 способ : (метод ограниченности функций)

$x^2+4x+2^{\sqrt{2+x}}+3=0 \\ x^2+4x+4-1+2^{\sqrt{2+x}}=0\\ (x+2)^2-1=-2^{\sqrt{2+x}}$

так как левой частью уравнения является парабола с вершиной ( - 2 ; - 1) и ветви параболы направленны вверх, то область ее значения

E(y) = [ - 1 ; + ∞)

Найдем область значения правой части :

$\sqrt{2+x} \geq 0 \\ \\ 2^{ \sqrt{2+x}} \geq 2^0 \\ \\ 2^{ \sqrt{2+x}} \geq 1 \ |*(-1) \\ \\ -2^{ \sqrt{2+x}} \leq -1$

получилось так, что левая часть уравнения≥ - 1, а правая≤ - 1

Если обе эти части равны, значит они одновременно равны - 1 (в любом другом случае корней нет)

$\left \{ {{(x+2)^2-1=-1} \atop { -2^{\sqrt{2+x}}=-1}} \right. \\ \\ \left \{ {{(x+2)^2=0} \atop { 2^{\sqrt{2+x}}=1}} \right. \\ \\ \left \{ {{x+2=0} \atop { 2^{\sqrt{2+x}}=2^0}} \right. \\ \\ \left \{ {{x=-2} \atop { \sqrt{2+x}=0}} \right. \\ \\ \left \{ {{x=-2} \atop {x=-2}} \right. \ \ =\ \textgreater \ x=-2 \\ \\ OTBET: \ -2$.

Andreylutsak 8 авг. 2021 г., 20:52:52 | 5 - 9 классы

Решите пожалуйста показательное уравнение ( с решением )?

Решите пожалуйста показательное уравнение ( с решением ).

Sashabkinsanek 25 февр. 2021 г., 02:48:01 | 10 - 11 классы

Нужна помощь в решении уравнения?

Нужна помощь в решении уравнения.

Arsenev01 23 авг. 2021 г., 15:44:57 | 5 - 9 классы

Решите пожалуйста показательное уравнение ( с решением )?

Решите пожалуйста показательное уравнение ( с решением ).

Окгугл 7 июл. 2021 г., 06:35:26 | 5 - 9 классы

Решите пожалуйста показательное уравнение ( с решением )?

Решите пожалуйста показательное уравнение ( с решением ).

32789asshole 18 июл. 2021 г., 04:57:45 | 5 - 9 классы

Помогите пожалуйста?

Помогите пожалуйста.

Можно с решением.

~Показательные уравнения~.

Tatianka4942862 25 июл. 2021 г., 04:25:20 | 10 - 11 классы

Прошу помочь с решением показательного уравнения ?

Прошу помочь с решением показательного уравнения :

Арзі 7 июл. 2021 г., 04:42:27 | 5 - 9 классы

Решите пожалуйста показательное уравнение ( с решением )?

Решите пожалуйста показательное уравнение ( с решением ).

Ijrjkfl4567 20 авг. 2021 г., 17:21:13 | 5 - 9 классы

Нужна помощь : показательные yравнения?

Нужна помощь : показательные yравнения.

Cityhunter1 2 мая 2021 г., 20:00:21 | 5 - 9 классы

Решите пожалуйста показательное уравнение ( с решением )?

Решите пожалуйста показательное уравнение ( с решением ).

Kirilienko80 27 июл. 2021 г., 04:35:23 | 10 - 11 классы

Нужная помощь с решением уравнения?

Нужная помощь с решением уравнения.