Известно, что если сумма каких - либо трёх натуральных чисел делится на nn, то и сумма одиннадцатых степеней этих же чисел делится на nn?

Алгебра | 1 - 4 классы

Известно, что если сумма каких - либо трёх натуральных чисел делится на nn, то и сумма одиннадцатых степеней этих же чисел делится на nn.

Найдите наибольшее возможное натуральное значение nn.

Ответить на вопрос
Ответы (1)
Ваня239 27 авг. 2021 г., 00:11:27

Если условие верно для всех натуральных чисел, то и для целых тоже : это следует, например, из формулы бинома Ньютона, (np + r) ^ 11 дает такой же остаток при делении на n, что и r ^ 11.

Прибавляя нужное количество n, из любого отрицательное числа можно сделать положительное, и при этом делимость не нарушится.

Применим утверждение из условия на разных числах.

2 + ( - 1) + ( - 1) = 0 делится на n

2 ^ 11 - 1 ^ 11 - 1 ^ 11 = 2 * 3 * 11 * 31 - тоже должно делиться на n

3 + ( - 2) + ( - 1) = 0 делится на n

3 ^ 11 - 2 ^ 11 - 1 ^ 11 = 2 * 3 * 7 * 11 * 379 - тоже должно делиться на n.

Из примеров следует, что максимальное возможное значение n равно 2 * 3 * 11 = 66.

Докажем, что 66 подходит.

Рассмотрим разность x ^ 11 - x.

Докажем, что при целых x она делится на 66.

X ^ 11 - x = x (x ^ 10 - 1) = x (x ^ 5 - 1)(x ^ 5 + 1) * Делимость на 2 : сомножители x, x ^ 5 - 1 разной чётности, поэтому среди них одно чётное, второе нечётное.

Значит.

Произведение делится на 2.

* Делимость на 3 : заметим, что x ^ 5 дает такой же остаток от деления на 3, что и x (это можно проверить только для чисел 1, 0, - 1).

Значит, всё произведение даёт такой же остаток, что и x (x - 1)(x + 1).

Это произведение трёх последовательных чисел.

Среди них обязательно найдётся делящееся на 3, тогда всё произведение делится на 3.

* Делимость на 11 гарантирует малая теорема Ферма (если p - простое число, то для любого целого a число a ^ p - a делится на p).

Итак, разность делится на 2, 3, 11, тогда и на 2 * 3 * 11 = 66.

Осталось заметить, что если a + b + c делится на 66, то и a ^ 11 + b ^ 11 + c ^ 11 делится на 66, так как (a ^ 11 + b ^ 11 + c ^ 11) - (a + b + c) = (a ^ 11 - a) + (b ^ 11 - b) + (c ^ 11 - c) делится на 66, поскольку каждое слагаемое делится на 66.

Ответ.

N = 66.

Настя1830 4 авг. 2021 г., 01:16:21 | 1 - 4 классы

Докажите, что сумма пяти последовательных натуральных четных чисел делится на 10?

Докажите, что сумма пяти последовательных натуральных четных чисел делится на 10.

Alincka34226 12 апр. 2021 г., 08:48:08 | 5 - 9 классы

Докажите, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5?

Докажите, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5.

Turarova6 15 мар. 2021 г., 02:22:09 | 5 - 9 классы

Докажите что, сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ?

Докажите что, сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ?

Pavlenkovitali 20 апр. 2021 г., 22:24:50 | 10 - 11 классы

Пожалуйста с полным объяснением даю максималку?

Пожалуйста с полным объяснением даю максималку!

: )

Известно, что если сумма каких - либо трёх натуральных чисел делится на n, то и сумма седьмых степеней этих же чисел делится на n.

Найдите наибольшее возможное натуральное значение nn.

Кристи2030 19 мар. 2021 г., 02:39:31 | 5 - 9 классы

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 170, которые делятся и на 2, и на?

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 170, которые делятся и на 2, и на.

3.

89811406813mail 23 сент. 2021 г., 17:17:54 | 10 - 11 классы

Найдите сумму всех натуральных чисел , которые делятся на 9 и не превосходят 400?

Найдите сумму всех натуральных чисел , которые делятся на 9 и не превосходят 400.

Сдв1 13 мая 2021 г., 13:06:26 | 5 - 9 классы

1) Найдите сумму всех натуральных чисел которые делятся на 7 и не превосходят 3702)Найдите сумму всех натуральных чисел которые делятся на 9 и не превосходят 400?

1) Найдите сумму всех натуральных чисел которые делятся на 7 и не превосходят 370

2)Найдите сумму всех натуральных чисел которые делятся на 9 и не превосходят 400.

Salavat20032003 6 июл. 2021 г., 16:18:18 | 5 - 9 классы

Доказать, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5?

Доказать, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.

Baevakatyusha1 12 июл. 2021 г., 08:34:17 | 5 - 9 классы

Докажите что сумма 3 последовательных натуральных не чётных чисел делится на 3?

Докажите что сумма 3 последовательных натуральных не чётных чисел делится на 3.

DolmatovN 11 мая 2021 г., 07:47:00 | 5 - 9 классы

Докажите, что сумма трех последовательных натуральных нечетных чисел делится на три?

Докажите, что сумма трех последовательных натуральных нечетных чисел делится на три.

На этой странице сайта размещен вопрос Известно, что если сумма каких - либо трёх натуральных чисел делится на nn, то и сумма одиннадцатых степеней этих же чисел делится на nn? из категории Алгебра с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 1 - 4 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.