Помогите, пожалуйста, решить дифференциальное уравнениеxy` (lny – lnx) = y?

Алгебра | 10 - 11 классы

Помогите, пожалуйста, решить дифференциальное уравнение

xy` (lny – lnx) = y.

Ответить на вопрос
Ответы (1)
Ruoli 17 июл. 2021 г., 20:34:38

$xy' (\ln y - \ln x) = y$

Применяем свойство логарифма :

$xy' \ln \dfrac{y}{x} = y$

Далее преобразуем :

$y' \ln \dfrac{y}{x} = \dfrac{y}{x}$

Получаем однородное диф.

Уравнение.

Замена :

$\dfrac{y}{x} =t \\\ \Rightarrow y=tx; \ y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получаем уравнение с разделяющимися переменными :

$(t'x+t)\ln t=t \\\ t'x+t= \dfrac{t}{\ln t} \\\ t'x= \dfrac{t}{\ln t} -t \\\ \dfrac{xdt}{dx} =\dfrac{t}{\ln t} -t \\\ \dfrac{dt}{\dfrac{t}{\ln t} -t} = \dfrac{dx}{x}$

Интегрируем левую часть отдельно :

$\int\limits \dfrac{1}{\dfrac{t}{\ln t} -t} dt= \int\limits \dfrac{1}{\dfrac{t-t\ln t}{\ln t} } dt= \int\limits \dfrac{\ln t}{t-t\ln t }dt = \int\limits \dfrac{\ln t}{t(1-\ln t) }dt$

Искусственно добавим и отнимем 1 в числителе и разобьем интеграл на два интеграла :

$\int\limits \dfrac{\ln t-1+1}{t(1-\ln t) }dt = \int\limits \dfrac{\ln t-1}{t(1-\ln t) }dt + \int\limits \dfrac{1}{t(1-\ln t) }dt$

Выполняем подведение под знак дифференциала :

$- \int\limits \dfrac{1}{t }dt + \int\limits \dfrac{1}{1-\ln t }d(\ln t) = - \int\limits \dfrac{1}{t }dt - \int\limits \dfrac{1}{1-\ln t }d(1-\ln t) = \\\ =- \ln |t| - \ln|1-\ln t|$

После интегрирования получим :

$- \ln |t| - \ln|1-\ln t|=\ln|x|+\ln|C| \\\ - \ln |t(1-\ln t)|=\ln|Cx| \\\ \ln |(t(1-\ln t))^{-1}|=\ln|Cx| \\\ (t(1-\ln t))^{-1}=Cx \\\ \dfrac{1}{t(1-\ln t)} =Cx$

Обратная замена :

$\dfrac{1}{ \dfrac{y}{x} (1-\ln \dfrac{y}{x} )} =Cx \\\ \dfrac{x}{ y(1-\ln \dfrac{y}{x} )} =Cx$

На х можно сократить, так как по условию х не может быть равен 0.

[img = 10]

Ответ : [img = 11] - общий интеграл уравнения.

Valiant17289 12 апр. 2021 г., 11:42:08 | 10 - 11 классы

Решить систему lnx - lny = ln5 ; x - 3y = 4?

Решить систему lnx - lny = ln5 ; x - 3y = 4.

Sashashmakova 7 авг. 2021 г., 17:45:02 | 10 - 11 классы

Решите пожалуйста Дифференциальное уравнение)?

Решите пожалуйста Дифференциальное уравнение).

Shkermeneva 28 авг. 2021 г., 08:55:52 | 5 - 9 классы

Помогите пожалуйста?

Помогите пожалуйста!

Решите данное дифференциальное уравнение.

Lubasirotkina12 17 июн. 2021 г., 14:31:47 | 5 - 9 классы

Помогите пожалуйста?

Помогите пожалуйста!

Решите данное дифференциальное уравнение.

Taniaprosushu 23 мар. 2021 г., 08:32:16 | 5 - 9 классы

Помогите пожалуйста?

Помогите пожалуйста!

Решите данное дифференциальное уравнение.

81811431 3 июн. 2021 г., 01:56:30 | 5 - 9 классы

Помогите пожалуйста?

Помогите пожалуйста!

Решите данное дифференциальное уравнение.

Фари23 9 мая 2021 г., 10:09:30 | 10 - 11 классы

Пожалуйста помогите решить дифференциальное уравнение первого порядка найти частное решение?

Пожалуйста помогите решить дифференциальное уравнение первого порядка найти частное решение.

Xy' - y = - x ^ 2, если у(0) = 1.

Fidan211 17 дек. 2021 г., 01:23:24 | 5 - 9 классы

Помогите пожалуйста?

Помогите пожалуйста!

Решите данное дифференциальное уравнение.

Zai16 19 июл. 2021 г., 16:47:38 | студенческий

Решить дифференциальное уравнениеxy'''' = 1?

Решить дифференциальное уравнение

xy'''' = 1.

26371881 10 мая 2021 г., 03:31:03 | студенческий

Помогите решить дифференциальное уравнение?

Помогите решить дифференциальное уравнение.

[tex]y' * x + y = - xy ^ 2[ / tex].

На этой странице сайта, в категории Алгебра размещен ответ на вопрос Помогите, пожалуйста, решить дифференциальное уравнениеxy` (lny – lnx) = y?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 10 - 11 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.