Алгебра | 10 - 11 классы
Помогите, пожалуйста, решить дифференциальное уравнение
xy` (lny – lnx) = y.
Решить систему lnx - lny = ln5 ; x - 3y = 4?
Решить систему lnx - lny = ln5 ; x - 3y = 4.
Решите пожалуйста Дифференциальное уравнение)?
Решите пожалуйста Дифференциальное уравнение).
Помогите пожалуйста?
Помогите пожалуйста!
Решите данное дифференциальное уравнение.
Помогите пожалуйста?
Помогите пожалуйста!
Решите данное дифференциальное уравнение.
Помогите пожалуйста?
Помогите пожалуйста!
Решите данное дифференциальное уравнение.
Помогите пожалуйста?
Помогите пожалуйста!
Решите данное дифференциальное уравнение.
Пожалуйста помогите решить дифференциальное уравнение первого порядка найти частное решение?
Пожалуйста помогите решить дифференциальное уравнение первого порядка найти частное решение.
Xy' - y = - x ^ 2, если у(0) = 1.
Помогите пожалуйста?
Помогите пожалуйста!
Решите данное дифференциальное уравнение.
Решить дифференциальное уравнениеxy'''' = 1?
Решить дифференциальное уравнение
xy'''' = 1.
Помогите решить дифференциальное уравнение?
Помогите решить дифференциальное уравнение.
[tex]y' * x + y = - xy ^ 2[ / tex].
На этой странице сайта, в категории Алгебра размещен ответ на вопрос Помогите, пожалуйста, решить дифференциальное уравнениеxy` (lny – lnx) = y?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 10 - 11 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.
$xy' (\ln y - \ln x) = y$
Применяем свойство логарифма :
$xy' \ln \dfrac{y}{x} = y$
Далее преобразуем :
$y' \ln \dfrac{y}{x} = \dfrac{y}{x}$
Получаем однородное диф.
Уравнение.
Замена :
$\dfrac{y}{x} =t \\\ \Rightarrow y=tx; \ y'=t'x+tx'=t'x+t$
Получаем уравнение с разделяющимися переменными :
$(t'x+t)\ln t=t \\\ t'x+t= \dfrac{t}{\ln t} \\\ t'x= \dfrac{t}{\ln t} -t \\\ \dfrac{xdt}{dx} =\dfrac{t}{\ln t} -t \\\ \dfrac{dt}{\dfrac{t}{\ln t} -t} = \dfrac{dx}{x}$
Интегрируем левую часть отдельно :
$\int\limits \dfrac{1}{\dfrac{t}{\ln t} -t} dt= \int\limits \dfrac{1}{\dfrac{t-t\ln t}{\ln t} } dt= \int\limits \dfrac{\ln t}{t-t\ln t }dt = \int\limits \dfrac{\ln t}{t(1-\ln t) }dt$
Искусственно добавим и отнимем 1 в числителе и разобьем интеграл на два интеграла :
$\int\limits \dfrac{\ln t-1+1}{t(1-\ln t) }dt = \int\limits \dfrac{\ln t-1}{t(1-\ln t) }dt + \int\limits \dfrac{1}{t(1-\ln t) }dt$
Выполняем подведение под знак дифференциала :
$- \int\limits \dfrac{1}{t }dt + \int\limits \dfrac{1}{1-\ln t }d(\ln t) = - \int\limits \dfrac{1}{t }dt - \int\limits \dfrac{1}{1-\ln t }d(1-\ln t) = \\\ =- \ln |t| - \ln|1-\ln t|$
После интегрирования получим :
$- \ln |t| - \ln|1-\ln t|=\ln|x|+\ln|C| \\\ - \ln |t(1-\ln t)|=\ln|Cx| \\\ \ln |(t(1-\ln t))^{-1}|=\ln|Cx| \\\ (t(1-\ln t))^{-1}=Cx \\\ \dfrac{1}{t(1-\ln t)} =Cx$
Обратная замена :
$\dfrac{1}{ \dfrac{y}{x} (1-\ln \dfrac{y}{x} )} =Cx \\\ \dfrac{x}{ y(1-\ln \dfrac{y}{x} )} =Cx$
На х можно сократить, так как по условию х не может быть равен 0.
[img = 10]
Ответ : [img = 11] - общий интеграл уравнения.