Решить уравнение[tex] \ sqrt{x + 1} + \ sqrt{x + 4} = \ sqrt{2x} + \ sqrt{2x + 9}[ / tex]?

Nada29052001 19 окт. 2021 г., 03:41:46

ОДЗ : x≥0.

Обозначим левую часть f(x), а правую g(x).

Тогда f(0) = g(0).

F'(x) = 1 / √(4x + 4) + 1 / √(4x + 16) и g'(x) = 1 / √(2x) + 1 / √(2x + 9).

Очевидно, что 00 а значит и f(x)0, т.

Е. единственный корень х = 0.

SiebenTageLang1488 19 окт. 2021 г., 03:41:47

$\displaystyle \sqrt{x+1}+ \sqrt{x+4}= \sqrt{2x}+ \sqrt{2x+9}$

ОДЗ :

$\left \{ {{x \geq -1; x \geq -4} \atop {x \geq 0; x \geq -9/2}} \right.$

$\displaystyle [0;+oo)$

Воспользуемся свойством монотонности функций

$\displaystyle \sqrt{x+1}$ - возрастающая

$\displaystyle \sqrt{x+4}$ - возрастающая

Их сумма тоже возрастающая функция

аналогично в правой части равенства возрастающая функция

т.

Е. обе функции монотонно возрастают.

Но этого не достаточно чтобы точно определить что у них нет больше точек пересечения.

Нужно посмотреть с какой "скоростью" они возрастают.

Если на всем множестве допустимых значений одна функция возрастает быстрее другой то тогда точек пересечения у них не будет .

Для этого найдем производные этих сумм.

( Производная - как раз и показывает скорость возрастания функции)

Найдем производную левой части уравнения :

$\displaystyle (\sqrt{x+1}+ \sqrt{x+4})`= \frac{1}{2 \sqrt{x+1}}+ \frac{1}{2 \sqrt{x+4}} = \frac{1}{ \sqrt{4x+4}}+ \frac{1}{ \sqrt{4x+16}}$

Найдем производную правой части

$\displaystyle ( \sqrt{2x}+ \sqrt{2x+9})`= \frac{2}{2 \sqrt{2x}}+ \frac{2}{2 \sqrt{2x+9}}= \frac{1}{ \sqrt{2x}}+ \frac{1}{ \sqrt{2x+9}}$

Сравним наши производные :

$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{4x+4}} + \frac{1}{ \sqrt{4x+16}} ? \frac{1}{ \sqrt{2x}}+ \frac{1}{ \sqrt{2x+9}}$

Мы видим что :

$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{4x+4}}\ \textless \ \frac{1}{ \sqrt{2x}}$

$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{4x+16}}\ \textless \ \frac{1}{ \sqrt{2x+9}}$

А значит первая сумма будет меньше чем вторая на промежутке (0 ; + oo)

Значит скорость возрастания правого выражения больше чем левого, значит на промежутке от (0 ; + oo) точек пересечения нет

то если и есть точка пересечения то она только одна и при х = 0

Проверим :

Очевидно что при х = 0 равенство выполняется

[img = 10]

Значит единственным решением будет х = 0.

Bpantat116 3 янв. 2021 г., 10:39:46 | 10 - 11 классы

2 - 3x + x ^ 2 = 2(x - 1)sqrtx?

2 - 3x + x ^ 2 = 2(x - 1)sqrtx.

Malinka180 8 янв. 2021 г., 22:05:55 | 5 - 9 классы

2 * lg2 + lg(5 ^ (sqrtx) + 1) = 2 + lg(5 ^ (1 - sqrtx) + 5)sqrt - это корень, если что?

2 * lg2 + lg(5 ^ (sqrtx) + 1) = 2 + lg(5 ^ (1 - sqrtx) + 5)

sqrt - это корень, если что.

Lenohka1361 15 мая 2021 г., 03:55:39 | 5 - 9 классы

Решить неравенство x ^ 2 * 9 ^ sqrtx< ; 3 ^ (2(sqrtx + 2))?

Решить неравенство x ^ 2 * 9 ^ sqrtx< ; 3 ^ (2(sqrtx + 2)).

Basya525 24 окт. 2021 г., 11:46:06 | 10 - 11 классы

Решите уравнение пожалуйста?

Решите уравнение пожалуйста!

Log_4 (1 \ x ^ 2) + log_4 (sqrtx) = - 3.

Nastya05091 24 февр. 2021 г., 07:24:53 | 10 - 11 классы

Помогите, пожалуйста, вычислить интеграл :∫lnx / (sqrtx)dx?

Помогите, пожалуйста, вычислить интеграл :

∫lnx / (sqrtx)dx.

Mis456 11 июн. 2021 г., 21:13:50 | 5 - 9 классы

Вычислите неопределенный интеграл(без замены) : (sqrtx + 2) ^ 2?

Вычислите неопределенный интеграл(без замены) : (sqrtx + 2) ^ 2.

ЯПРОВАСВСЕЗНАЮ 7 сент. 2021 г., 20:34:38 | 10 - 11 классы

Решите уравнение [tex]sin5x = - 1[ / tex]?

Решите уравнение [tex]sin5x = - 1[ / tex].

Lisaoz098 17 нояб. 2021 г., 01:02:50 | 10 - 11 классы

2 / 3 * х * sqrtx найти производных?

2 / 3 * х * sqrtx найти производных.

Tanyyy1 31 авг. 2021 г., 17:50:48 | 10 - 11 классы

Решить уравнение[tex]2 ^ x[ / tex] + [tex]2 ^ - ^ x[ / tex] = [tex] \ frac{17}{4} [ / tex]?

Решить уравнение

[tex]2 ^ x[ / tex] + [tex]2 ^ - ^ x[ / tex] = [tex] \ frac{17}{4} [ / tex].

Август81 23 дек. 2021 г., 20:10:16 | 5 - 9 классы

Решить уравнение :[tex] 2 ^ {8 - x ^ {2} } [ / tex] = [tex] 4 ^ {x} [ / tex]?

Решить уравнение :

[tex] 2 ^ {8 - x ^ {2} } [ / tex] = [tex] 4 ^ {x} [ / tex].

Taranagasimova2004 6 окт. 2021 г., 17:45:21 | 5 - 9 классы

Решите уравнение[tex] \ frac{sin2x}{sin( \ pi - x)} [ / tex] = [tex] \ sqrt{2} [ / tex]Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку [[tex] - \ frac{5 \ pi }{2} [ / tex] ; [tex] - \ pi [ / tex])?

Решите уравнение

[tex] \ frac{sin2x}{sin( \ pi - x)} [ / tex] = [tex] \ sqrt{2} [ / tex]

Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку [[tex] - \ frac{5 \ pi }{2} [ / tex] ; [tex] - \ pi [ / tex]).