Вычислить предел?

Алгебра | студенческий

Вычислить предел.

Можете пожалуйста помочь с этим?

Ответить на вопрос
Ответы (1)
Chulpan20021 25 янв. 2022 г., 11:19:54

$\lim_{x \to \inft0} \frac{arcsin3x}{ln(e-x)-1}$

Неопределённость 0 / 0.

Разделим числитель и знаменатель на икс (х) :

$\lim_{x \to \inft0} \frac{arcsin3x}{ln(e-x)-1}=\lim_{x \to \inft0} \frac{ \frac{arcsin3x}{x} } { \frac{ln(e-x)-1}{x} }= \frac{\lim_{x \to \inft0} \frac{arcsin3x}{x} }{\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x} }$

В числителе чуть - чуть не хватает до первого замечательного предела.

Чтобы это исправить домножим арксинус на 3 и тут же разделим на три :

$\frac{\lim_{x \to \inft0} \frac{3arcsin3x}{3x} }{\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x} } =\frac{ 3 \lim_{x \to \inft0} \frac{arcsin3x}{3x} }{\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x} }$

Вот теперь в числителе можно применить первый замечательный предел (не в форме синуса, а в форме арксинуса) :

$\frac{ 3 \lim_{x \to \inft0} \frac{arcsin3x}{3x} }{\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x} }=\frac{ 3 }{ \lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x} }$

Теперь обратим внимание на знаменатель - там ещё один предел.

Он приводится ко второму замечательному пределу.

Для простоты будем выполнять действия только со знаменателем :

$\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x}=\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-lne}{x}= \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} \frac{ln \frac{e-x}{e} }{x}=\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(1- \frac{x}{e} ) }{x}=\lim_{x \to \inft0} \frac{1}{x}ln(1- \frac{x}{e} ) = \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} ln(1+ (-\frac{x}{e}) )^{\frac{1}{x}} =\lim_{x \to \inft0} ln[(1+ (-\frac{x}{e}) )^{- \frac{e}{x} *(- \frac{x}{e} )} ]^{\frac{1}{x}} =$

$=\lim_{x \to \inft0} ln[(1+ (-\frac{x}{e}) )^{- \frac{e}{x} } ]^{ (- \frac{x}{e})* \frac{1}{x}} =\lim_{x \to \inft0} ln[(1+ (-\frac{x}{e}) )^{- \frac{e}{x} } ]^{- \frac{1}{e}} = \\ \\ =ln[ \lim_{x \to \inft0} (1+ (-\frac{x}{e}) )^{- \frac{e}{x} } ]^{- \frac{1}{e}} =lne^{- \frac{1}{e}}=- \frac{1}{e}lne=- \frac{1}{e}$

Итак, последовательно подвели знаменатель ко второму замечательному пределу.

Переходим к основному пределу :

$\lim_{x \to \inft0} \frac{arcsin3x}{ln(e-x)-1}=\frac{ 3 }{ \lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x} }= \frac{3}{- \frac{1}{e}} =-3e$.

На этой странице находится вопрос Вычислить предел?, относящийся к категории Алгебра. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся студенческий. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Алгебра. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.