Измерение дальности до объекта осуществляется без систематических ошибок?

David0 4 авг. 2018 г., 03:56:16

Систематической погрешности нет.

Ошибка измерения определяется только случайной погрешностью.

Нормальный закон распределения со средним квадратичным отклонением σ означает, что функция плотности вероятности имеет вид :

$f(x)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma } } e^{- \frac{x^2}{2 \sigma ^2} }$ (1)

График функции (1) имеет вид "колокола" симметричного относительно прямой х = 0.

(В более общем виде тут еще задействовано матожидание (или "среднее значение" х) m (и колокол тогда смещатся), но тогда в смысле ошибок можно было бы говорить о наличии систематической погрешности, а она у нас равна 0.

Вот мы и считаем что функция распределения вероятности симметрична относительно 0 ).

С учетом того, что среднее квадратичное отклонение σ = 25 функция (1) примет вид :

$f(x)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi 25 } } e^{- \frac{x^2}{2*25} }$ (2)

Функция плотности вероятности f(x) является 1 - й производной функции распределения случайной величины x F(x).

Т. е :

$f(x)= \frac{dF}{dx}$ (3)

Что означают такие функции?

Что можно найти с их помощью?

Например вероятность того, что случайная величина х попадет в диапазон (интервал) (a1 ; a2) определяется отношением :

$P(a, b)= \int\limits^{b}_{a} f{x} , dx=F(a)-F(b)$ (4)

При этом функция распределения F(x) задает вероятность попадания случайной величины в интервал ( - ∞, x).

Итак У нас известна функция распределения вероятности (2) известен задан диапазон в который должна попасть случайная величина (наша погрешность), ( - 25, 25 ).

Чтобы найти вероятность того, что ошибка не вылезет за пределы заданного интервала, все что нам нужно сделать, это взять интеграл вида (4), подставив туда вместо f(x) её выражение (2) и вместо пределов интегрирования поставить границы интервала - 25 и 25.

Т. е.

$P(-25,25)= \int\limits^{25}_{-25} { \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma } } e^{- \frac{x^2}{2 \sigma ^2} } } \, dx = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi 25 }}\int\limits^{25}_{-25} e^{- \frac{x^2}{2*25^2} } } \, dx$ (5)

И все бы хорошо, НО интеграл вида (5) "неберушка", т.

Е. его нельзя выразить в элементарных функциях.

Исключение составляют интегралы с бесконечными, или "полубесконечными" пределами интегрирования (интеграл Пуассона например).

Что нам делать?

Как быть?

Инегралы такого рода можно посчитать различными способами численно (приближенно) с любой наперед заданной точностью.

Мы этого правда делать не будем.

Это уже все проделано до нас и составлено уйма таблиц.

Их можно найти и в книжном(бумажном) и в электроном вариантах.

Однако есть один момент.

Затабулировано целое семейство похожих функций, имеющих к тому же похожие названия, например мне по запросу навскидку попались попадались такие :

1) Функция Лапласа (в другом месте Интеграл вероятности) или даже так :

Функция стандартного нормального распределения

$F(x)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } \int\limits^x_0 {e^{- \frac{t^2}{2} }} \, dt$ (6)

2) Еще один интеграл вероятности :

$F(t)= \frac{2}{ \sqrt{\pi } } \int\limits^t_0 {e^{- t^2 }} \, dt$ (7)

3) где то вылезла таблица функции

$F(x)= \int\limits^x_0 {e^{-t^2} \, dt$ (8).

Что с этим делать?

Смириться и внимательно смотреть, какая именно функция дана в таблице.

При этом исходный интеграл (5) можно свести к табличному интегралу путем замены переменных и вынесения множителя.

Например так :

$\int\limits^{25}_{-25} { \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma } } e^{- \frac{x^2}{2 \sigma ^2} } } \, dx$

Подынтегральная функция (четная) ⇒ можно записать :

$\int\limits^{25}_{-25} { \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma } } e^{- \frac{x^2}{2 \sigma ^2} } } \, dx = 2*\int\limits^{25}_{0} { \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma } } e^{- \frac{x^2}{2 \sigma ^2} } } \, dx$ (9)

далее вводим новую переменную

[img = 10] тогда

[img = 11] [img = 12]

при этом если x = 0, то u = 0,

x = 25, u = σx = σ * 25 = A

интеграл (9) приобретает вид :

[img = 13] (10)

Получили интеграл вида (6) умноженный на 2σ,

ВНИМАНИЕ!

ПРЕДЕЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ИЗМЕНИЛИСЬ!

Тот, кто "дружит" с электронными таблицами может поискать в них похожие функции.

Это будет удобно, если необходимо выполнить "серию" расчетов, мне например (после некоторых мытарств) удалось в своем Сalc( у меня Libre Office 4.

2 ) найти функцию

NORMDIST(X ; m ; σ ; C), которая в зависимости от параметра C выдает

значение либо функции распределения случайной величины (с = 1), либо значение плотности вероятности (c = 0) в точке X.

Тут

m матожидание случайной величины, у нас оно = 0 как мы уже говорили выше.

Σ среднеквадратичное отклонение = 25.

Таким образом вычиление интеграла (5) обошлось сравнительно "малой кровью"

когда в таблице вычислили выражение :

NORMDIST(25 ; 0 ; 25 ; 1) - NORMDIST( - 25 ; 0 ; 25 ; 1)

Итого

Ответ P( - 25 ; 25)≈0, 6827.

Wwwanel98 16 сент. 2018 г., 00:33:08 | 10 - 11 классы

Катя и Аня пишут диктант?

Катя и Аня пишут диктант.

Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%.

Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.

Gagarin12 8 мар. 2018 г., 16:16:53 | 10 - 11 классы

Решить задачу по теории вероятности?

Решить задачу по теории вероятности.

Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0, 4.

Произведены три независимых измерения.

Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

Familynata 3 нояб. 2018 г., 12:24:43 | 10 - 11 классы

1)Стрелок стреляет по мишени до первого попадания?

1)Стрелок стреляет по мишени до первого попадания.

Вероятность попадания равна 0.

7 при каждом выстреле.

Найти вероятность того, что стрелку потребуется 3 выстрела.

2)Какова вероятность хотя бы одного случая ошибки соединения на телефонной станции за 2 месяца, если среднее число ошибок соединения равно 1.

5 за 1 месяц?

НовиЧпок 15 дек. 2018 г., 09:14:44 | 5 - 9 классы

Какая величина принимается за единицу измерения при градусном измерении углов?

Какая величина принимается за единицу измерения при градусном измерении углов?

Lev1601 12 окт. 2018 г., 04:07:12 | 5 - 9 классы

Провели несколько измерений случайной величины 46 56 12 28 20 12 28 Найдите моду этого набора чисел?

Провели несколько измерений случайной величины 46 56 12 28 20 12 28 Найдите моду этого набора чисел.

Dlink00 20 апр. 2018 г., 08:26:48 | 5 - 9 классы

1). Студент разыскивает нужную ему формулу в двух справочниках?

1). Студент разыскивает нужную ему формулу в двух справочниках.

Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике, равна 0, 8, а во втором – 0, 7.

Найти вероятность того, что формула содержится А) хотя бы в одном справочнике ; Б) только в одном справочнике.

2). Дано распределение дискретной случайной величины : х - 5 2 3 4 р 0, 4 0, 3 0, 1 ?

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Родик3 14 сент. 2018 г., 05:40:28 | 5 - 9 классы

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = −t4 + 6t3 + 5t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения?

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = −t4 + 6t3 + 5t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения.

Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

07010102023 27 авг. 2018 г., 18:09:05 | 5 - 9 классы

Провели несколько измерений случайной величины 12 11 19 10 19 19 18 12 , найдите медиану этого набора чисел?

Провели несколько измерений случайной величины 12 11 19 10 19 19 18 12 , найдите медиану этого набора чисел.

Macy96 23 июл. 2018 г., 02:43:58 | 10 - 11 классы

Найти математическое ожидание случайной величины Х, ее дисперсию и средне квадратичное отклонение, зная закон ее распределения : Х - 2 - 1 0 1 2 Р 0, 1 0, 2 0, 3 0, 3 0, 1?

Найти математическое ожидание случайной величины Х, ее дисперсию и средне квадратичное отклонение, зная закон ее распределения : Х - 2 - 1 0 1 2 Р 0, 1 0, 2 0, 3 0, 3 0, 1.

Мэрии99 22 апр. 2018 г., 02:22:21 | 5 - 9 классы

1)Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t2−48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения?

1)Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t2−48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения.

Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 с.