Алгебра | 10 - 11 классы
Вычислите интеграл.
Rasulcom564
25 окт. 2018 г., 19:06:10 | 10 - 11 классы
Вычислите определенный интеграл?
Вычислите определенный интеграл.
Перед вами страница с вопросом Вычислите интеграл?, который относится к категории Алгебра. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 10 - 11 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.
Заметим, что подынтегральная функция нигде в промежутке$[0,\frac{\pi}{2}]$ не обращается в бесконечность.
То есть подынтегральная функция интегрируема по Риману в данном промежутке.
$\cos x\,dx=d(\sin x)$
$\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos x\,dx}{2\sin x+1}=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\sin x}{2\sin x+1}=$
$=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\frac{1}{2}d(2\sin x)}{2\sin x+1}=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d(2\sin x)}{2\sin x+1}=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d(2\sin x+1)}{2\sin x+1}=$
Можно заметить, что подынтегральная функция теперь имеет вид :
$\int\frac{dt}{t}=\ln|t|$
Получается, что
$=\frac{1}{2}\ln(2\sin x+1)|_0^\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}(\ln|2\sin\frac{\pi}{2}+1|-\ln|2\sin 0+1|)=$
$=\frac{1}{2}(\ln|3|-\ln|1|)=\frac{\ln 3}{2}$
Ответ : $\frac{\ln 3}{2}$.