Задача на геометрическую прогрессию : Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см?

Planso19 26 янв. 2018 г., 18:37:24

Обозначения :

$a_i$ - сторона i - ого треугольника

$h_i$ - высота i - ого треугольника

$P_i$ - периметр i - ого треугольника

Перметр равностороннего треугольника определяется по формуле $P_i=3a_i$, значит если стороны заданных треугольников образую геометрическую прогрессию, то и их периметры также образуют геометрическую прогрессию.

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $a_1=8sm$.

Так как треугольник равносторонний, то все его высоты равны.

Найдем длину одной из них.

Высота является противолежащим катетом для угла равностороннего треугольника 60 градусов, гипотенузой в таком прямоугольном треугольнике является сторона равностороннего треугольника :

$\sin 60^0= \frac{h_1}{a_1} \\\ h_1=a_1\sin60^0=a_1\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Так как высота треугольника есть длина стороны следующего треугольника, т.

Е. $h_1=a_2$, то :

$a_2=a_1\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Вывод : длина стороны следующего треугольника есть длина стороны предыдущего треугольника, умноженная на множитель $\frac{ \sqrt{3} }{2}$ (для геометрической прогрессии он и будет являться знаменателем).

Рассуждая аналогично :

$a_3=h_2=a_2\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =a_1\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}=a_1\cdot (\frac{ \sqrt{3} }{2})^2 \\\ a_4=h_3=...=a_1\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^3 \\\ ... \\\ a_n=h_{n-1}=a_1\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$

Стороны образую геометрическую прогрессию, значит и их периметры также образуют геометрическую прогрессию :

[img = 10]

Можно подставить длину стороны исходного треугольника :

[img = 11]

[img = 12] - общая формула n - ого члена

Для n = 6 :

[img = 13].

Krestya52488 26 янв. 2018 г., 18:37:27

Высота равностороннего треугольникавычисляется по формуле

h = a(n + 1) = a * (√3 / 2) ^ n

1) Периметр такжеобразует геометрическую прогрессию, так стороны треугольника образуют геом.

Прогрессию

2) Вычисляем стороны треугольников

А(1) = А, А(6) = а * √3) ^ 5 / 2 ^ 5 = 9 / 32 * √3

и периметр Р = 3 * А(6) = 27 / 32 * √3.

Saltan281 21 июн. 2018 г., 19:18:20 | 5 - 9 классы

Длины сторон прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию?

Длины сторон прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию.

Найдите косинусы его острых углов.

Muerte666 3 сент. 2018 г., 20:32:17 | 5 - 9 классы

В равностороннем треугольнике высота равна 5 корень из 3 ?

В равностороннем треугольнике высота равна 5 корень из 3 .

Найдите стороны этого треугольника.

Vinniпыххх 20 февр. 2018 г., 13:15:19 | 5 - 9 классы

Периметр прямоугольного треугольника равен 12см?

Периметр прямоугольного треугольника равен 12см.

Найти радиус вписанной окружности если известно что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию.

Hotkin20 14 февр. 2018 г., 07:19:09 | 5 - 9 классы

Одна сторона треугольника равна a вторая 3 а третья в два раза больше первой ?

Одна сторона треугольника равна a вторая 3 а третья в два раза больше первой .

Найдите периметр треугольника.

Lanastar 30 авг. 2018 г., 20:49:41 | 5 - 9 классы

Одна сторона треугольника равна а, вторая 31, а третья в 2 раза больше первой?

Одна сторона треугольника равна а, вторая 31, а третья в 2 раза больше первой.

Найдите периметр треугольника.

Karinka94 8 июн. 2018 г., 11:25:23 | 5 - 9 классы

Высота равностороннего треугольника равна 97√ 3?

Высота равностороннего треугольника равна 97√ 3.

НАйдите его периметр?

196191 9 дек. 2018 г., 20:54:33 | 5 - 9 классы

Периметр равностороннего треугольника равна 108√3?

Периметр равностороннего треугольника равна 108√3.

Найдите его высоту.

Sabrina1901 23 сент. 2018 г., 13:35:12 | 5 - 9 классы

Высота равностороннего треугольника равна 2 корень из 3?

Высота равностороннего треугольника равна 2 корень из 3.

Найдите периметр.

Даша1457 27 янв. 2018 г., 04:51:42 | 5 - 9 классы

Периметр треугольника 34см?

Периметр треугольника 34см.

Первая сторона в два раза меньше второй стороны, а третья на 4см больше второй.

Найдите на каждую сторону треугольника.

Yanykinder 10 сент. 2018 г., 16:24:50 | 10 - 11 классы

Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию?

Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию.

Если меньший угол равен 20 град, то знаменатель прогрессии равен?