Помогите пожалуйста?

Dima236 4 февр. 2020 г., 15:02:39

Из теоремы Виета следует, что x1 * x2 = 1, x1 + x2 = 6.

Выведем соотношение :

(x1 ^ n + x2 ^ n) * (x1 + x2) = x1 ^ (n + 1) + x2 ^ (n + 1) + x1 * x2 * (x1 ^ (n - 1) + x2 ^ (n - 1))

Подставим значения x1 * x2 и x1 + x2 :

6 * (x1 ^ n + x2 ^ n) = (x1 ^ (n + 1) + x2 ^ (n + 1)) + (x1 ^ (n - 1) + x2 ^ (n - 1))

Пусть f(n) = x1 ^ n + x2 ^ n.

Тогда :

f(n + 1) = 6 * f(n) - f(n - 1) или f(n) = 6 * f(n - 1) - f(n - 2).

Докажем задачу №1 :

Если n натуральное, а f(1) = 6, f(2) = (x1 + x2) ^ 2 - 2 * x1 * x2 = 6 ^ 2 - 2 * 1 = 34 тоже натуральные, то f(3) и выше являются целыми числами, исходя из того, что f(n) получается из рекуррентной зависимости сцелыми коэффициентами.

Последовательность возрастающая, так как f(2) - f(1)> ; 0 (начальное условие), f(n) = 5 * f(n - 1) + f(n - 1) - f(n - 2) > ; f(n - 1).

Поэтому при натуральных n последовательность не только целая, но еще и натуральная.

Докажем задачу №2 :

Теперь n - целое.

То есть оно может быть 0 и может быть отрицательным.

F(0) = x1 ^ 0 + x2 ^ 0 = 2 - доказали для 0.

Теперь докажем для отрицательных n.

Для удобства возьмем положительное n, а перед ним поставим минус.

X1 ^ ( - n) + x2 ^ ( - n) = 1 / x1 ^ n + 1 / x2 ^ n = (x1 ^ n + x2 ^ n) / (x1 * x2) ^ n = x1 ^ n + x2 ^ n, так какx1 * x2 = 1.

Как доказали в задаче 1, это выражение будет натуральным при натуральных n.

Докажем задачу №3 :

Здесь просто требуется рассмотреть возможные остатки от деления на 5 чисел f(n).

Для этого введем функцию g(n) = f(n) % 5 (Остаток от деления на 5 - он в диапазоне от 0 до 4).

Тогда g(n) = (6 * g(n - 1) - g(n - 2))%5.

Попробуем определить периодичность остатков :

g(0) = 2,

g(1) = 6%5 = 1

g(2) = (6 * 1 - 2)%5 = 4

g(3) = (6 * 4 - 1)%5 = 3

g(4) = (6 * 3 - 4)%5 = 4

g(5) = (6 * 4 - 3)%5 = 1

g(6) = (6 * 1 - 4)%5 = 2

g(7) = (6 * 2 - 1)%5 = 1

Поскольку следующее значение в этой последовательностизависит от двух предыдущих, то последовательность периодичная, если встретится такая жепара последовательных остатков от деления на 5, которая уже была найдена ранее, а именно : (g(0), g(1)) = (g(6), g(7)).

Это значит, что последовательность g(n) имеет период 6.

Среди остатков от деления на 5 не было найдено 0.

Это значит, что ни одно число f(n) не делится на 5, что и требовалось доказать.

Danellllll 9 дек. 2020 г., 17:36:35 | 5 - 9 классы

Теорема виетасловами?

Теорема виета

словами.

Axe1515 24 июл. 2020 г., 20:43:53 | 5 - 9 классы

По теореме Виета 5 задание?

По теореме Виета 5 задание.

Vipkaktus 9 янв. 2020 г., 06:06:56 | 5 - 9 классы

Теорема Виета?

Теорема Виета?

Dianazabirova 13 нояб. 2020 г., 16:06:21 | 5 - 9 классы

Что такое теорема Виет?

Что такое теорема Виет?

Arinagostyaeva 21 дек. 2020 г., 16:39:13 | 5 - 9 классы

Помогите пожалуйста, надо решить теоремой Виета : Х ^ 2 - Х - 42?

Помогите пожалуйста, надо решить теоремой Виета : Х ^ 2 - Х - 42.

Aylin04 3 мая 2020 г., 09:27:26 | 5 - 9 классы

Как решать квадратные и биквадратные уравнения при помощи Теоремы Виета?

Как решать квадратные и биквадратные уравнения при помощи Теоремы Виета?

Пожалуйста поясните с подробностями и напишите определения теоремы Виета.

Заранее буду благодарен.

KRISTINA2501 17 сент. 2020 г., 21:12:32 | 5 - 9 классы

Теорема Виета и обратная Теорема , кто знает скажите пожалуйста?

Теорема Виета и обратная Теорема , кто знает скажите пожалуйста.

Redison2602 16 окт. 2020 г., 13:42:24 | 5 - 9 классы

Помогите решить Теорема Виета?

Помогите решить Теорема Виета.

Vlad15021988 9 дек. 2020 г., 09:42:56 | 5 - 9 классы

Помогите решить Теорема Виета СРОЧНО?

Помогите решить Теорема Виета СРОЧНО!

Сасори3 24 дек. 2020 г., 19:07:55 | 5 - 9 классы

Помогите решить Теорема Виета?

Помогите решить Теорема Виета.