Докажите, что любой многочлен можно представить в виде суммы чётной и нечётной функции?

Ираклиий 12 июн. 2021 г., 14:23:00

1. Если не лезть в дебри, то рассмотрим такой многочлен :

$f(x)=a_n x^n +a_{n-1} x^{n-1} +a_{n-2} x^{n-2} +...+a_2 x^2 +a_1 x^1 +a_0 x^0$,

где $a_i$ - коэффициент

Пусть n чётно, т.

Е. n = 2k.

(Для нечётного n доказательство аналогичное).

Сгруппируем члены с чётными и нечётными степенями :

$f(x)=(a_{2k} x^{2k} +a_{2k-2} x^{2k-2} +...+a_2 x^2 +a_0 x^0)+ \\ \\+(a_{2k-1} x^{2k-1} +a_{2k-3} x^{2k-3} +...+a_3 x^3 +a_1 x^1)$

Рассмотрим многочлен g(x) с чётными степенями.

Т. к.

Любое число в чётное степени положительно, то :

$g(x)=a_{2k} x^{2k} +a_{2k-2} x^{2k-2} +...+a_2 x^2 +a_0 x^0$

Покажем, что g(x) функция чётная.

Для этого, вместо х подставим ( - х) :

$g(-x)=a_{2k} (-x)^{2k} +a_{2k-2} (-x)^{2k-2} +...+a_2 (-x)^2 +a_0 (-x)^0= \\ \\ =g(x)=a_{2k} x^{2k} +a_{2k-2} x^{2k-2} +...+a_2 x^2 +a_0 x^0=g(x)$

Итак, доказали, что функция g(x) = g( - x) чётная.

Рассмотрим многочлен h(x) с нечётными степенями.

Отрицательное число в нечётной степени отрицательно.

$h(x)=a_{2k-1} x^{2k-1} +a_{2k-3} x^{2k-3} +...+a_3 x^3 +a_1 x^1$

Покажем, что функция h(x) нечётная, для чего вместо х подставим ( - х) :

$h(-x)=a_{2k-1} (-x)^{2k-1} +a_{2k-3} (-x)^{2k-3} +...+a_3 (-x)^3 +a_1 (-x)^1= \\ \\ =-a_{2k-1} x^{2k-1} -a_{2k-3} x^{2k-3} -...-a_3 x^3 -a_1 x^1= \\ \\ =-(a_{2k-1} x^{2k-1} +a_{2k-3} x^{2k-3}+-...+a_3 x^3 +a_1 x^1)=-h(x)$

Итак, доказали, что функция h(x) = - h( - x) нечётная.

После всего сказанного, имеем :

f(x) = g(x) + h(x)

функция f(x) представима в виде суммы чётной g(x) и нечётной h(x) функций.

2. А теперь углубимся в дебри.

Если функция симметрична относительно начала координат, то её можно представить в виде суммы чётной и нечётной функций.

Запишем нашу функцию в таком виде :

$f(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2} +\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

В правильности такой записи легко убедиться, если в правой части произвести сложение.

Рассмотрим функцию :

$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$

Выясним, чётная или нет такая функция, для чего опять подставляем вместо икса минус икс :

$g(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=g(x)$

Функция g(x) чётная.

Рассмотрим функцию :

[img = 10]

и выясним её чётность.

[img = 11]

Функция h(x) нечётная.

Таким образом, [img = 12], где g(x) - чётная, а h(x) - нечётная функция.

Что и требовалось доказать.

* Более подробно см.

Соответствующий материал, а для 9 класса достаточно этого.

Katerina1571 11 мая 2021 г., 09:57:28 | 5 - 9 классы

Докажите, что любую функцию с симметричной относительно точки 0 областью определения можно представить в виде суммы чётной и нечётной функции?

Докажите, что любую функцию с симметричной относительно точки 0 областью определения можно представить в виде суммы чётной и нечётной функции.

Vika1111 17 июл. 2021 г., 03:15:24 | 10 - 11 классы

F(x) = 2 х | х | - 3 х , является ли функция чётной или нечётной?

F(x) = 2 х | х | - 3 х , является ли функция чётной или нечётной.

Vusalkoanastasiya 29 июл. 2021 г., 22:52:58 | 5 - 9 классы

Представить многочлен в виде квадрата суммы 4а ^ 2 + 4ab + b ^ 2?

Представить многочлен в виде квадрата суммы 4а ^ 2 + 4ab + b ^ 2.

Sundukovaanyut 17 мар. 2021 г., 10:14:09 | 10 - 11 классы

Каждое ли чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел?

Каждое ли чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел?

Esayll11 30 мая 2021 г., 07:08:57 | 5 - 9 классы

Представите в виде многочлена?

Представите в виде многочлена.

Fedoseevakristi 8 янв. 2021 г., 01:53:06 | 5 - 9 классы

Как представить многочлен в виде квадрата суммы или квадрата разности (если можно формулой)?

Как представить многочлен в виде квадрата суммы или квадрата разности (если можно формулой).

Katelukovka985 5 апр. 2021 г., 17:35:24 | 5 - 9 классы

Что значит представить в виде многочлена?

Что значит представить в виде многочлена.

DrollWubz 1 нояб. 2021 г., 02:54:27 | 10 - 11 классы

А это грфик чётной или нечётной функции?

А это грфик чётной или нечётной функции?

Antitikrucis10 6 февр. 2021 г., 05:46:49 | 5 - 9 классы

Представить в виде многочлена?

Представить в виде многочлена.

Полинкавечеринка55 24 сент. 2021 г., 19:39:17 | 5 - 9 классы

Разложите многочлен на множители, представив один из членов многочлена в виде суммы подобных слагаемых : а² + 7а + 10?

Разложите многочлен на множители, представив один из членов многочлена в виде суммы подобных слагаемых : а² + 7а + 10.