Довести тотожність cos⁡〖π / 19 + cos⁡〖3π / 19 + cos⁡〖5π / 19 + ⋯ + cos⁡〖17π / 19 = 1 / 2〗 〗 〗 〗?

KristinaLife 3 июн. 2021 г., 00:55:49

В силу формулы $\displaystyle\cos\alpha \sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right)$ верна цепочка равенств :

$\displaystyle \cos\frac{\pi}{19}\sin \frac{\pi}{19}=\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi}{19}$,

$\displaystyle \cos\frac{3\pi}{19}\sin \frac{\pi}{19}=\frac{1}{2}\left(\sin \frac{4\pi}{19}-\sin\frac{2\pi}{19}\right)$,

$\displaystyle \cos\frac{5\pi}{19}\sin \frac{\pi}{19}=\frac{1}{2}\left(\sin \frac{6\pi}{19}-\sin\frac{4\pi}{19}\right)$, .

$\displaystyle \cos\frac{15\pi}{19}\sin \frac{\pi}{19}=\frac{1}{2}\left(\sin \frac{16\pi}{19}-\sin\frac{14\pi}{19}\right)$,

$\displaystyle \cos\frac{17\pi}{19}\sin \frac{\pi}{19}=\frac{1}{2}\left(\sin \frac{18\pi}{19}-\sin\frac{16\pi}{19}\right)$.

Сложим почленно эти равенства.

В левой части получается

$\displaystyle \left(\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\ldots+\cos\frac{15\pi}{19}+\cos\frac{17\pi}{19}\right)\sin \frac{\pi}{19}$, а в правой все слагаемые сокращаются, кроме $\displaystyle\sin \frac{18\pi}{19}=\sin \frac{\pi}{19},$ которое сокращается с таким же множителем в левой части.

Отсюда

$\displaystyle\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\ldots+\cos\frac{15\pi}{19}+\cos\frac{17\pi}{19}=\frac{1}{2}$.

Kasyanova111120 3 янв. 2021 г., 07:05:51 | 5 - 9 классы

Решите тригонометрическое уравнение СРОООООЧНОООООО ПОЖАЛУЙСТАААААААА 99 БАЛЛОВ ОТДАЛА cosx / 4×sinπ / 5 - sinx / 4×cosπ / 5 = √2 / 2?

Решите тригонометрическое уравнение СРОООООЧНОООООО ПОЖАЛУЙСТАААААААА 99 БАЛЛОВ ОТДАЛА cosx / 4×sinπ / 5 - sinx / 4×cosπ / 5 = √2 / 2.

Nadatakmakova 6 янв. 2021 г., 17:30:09 | 5 - 9 классы

Довести тотожність(sin a + cos a) ^ 2 = 1 + sin2a?

Довести тотожність

(sin a + cos a) ^ 2 = 1 + sin2a.

Valerik222 21 авг. 2021 г., 05:34:42 | 10 - 11 классы

Sinx×cosπ / 10 - cosx×sinπ / 10>√2 / 2 пожалуйста помогите?

Sinx×cosπ / 10 - cosx×sinπ / 10>√2 / 2 пожалуйста помогите.

Damelya199 14 февр. 2021 г., 14:21:42 | 10 - 11 классы

Упростить выражение sin5π / 12×cosπ / 12 + sinπ / 12×cos5π / 12?

Упростить выражение sin5π / 12×cosπ / 12 + sinπ / 12×cos5π / 12.

Alizaakmolda 16 апр. 2021 г., 04:18:52 | 10 - 11 классы

Вычислите : sin( - 9Π / 6) + sinΠ / 8 * cosΠ / 8?

Вычислите : sin( - 9Π / 6) + sinΠ / 8 * cosΠ / 8.

Malievaaliskaalisa 29 июл. 2021 г., 17:25:54 | 5 - 9 классы

Довести тотожність ( алгебра 7 класс)?

Довести тотожність ( алгебра 7 класс).

Snuw 10 авг. 2021 г., 07:11:43 | 10 - 11 классы

Найдите предел последовательности xn = 1 / (n + 1)⋅cosπ / 2n?

Найдите предел последовательности xn = 1 / (n + 1)⋅cosπ / 2n.

В ответе укажите квадрат предела последовательности.

Если последовательность не сходится, то укажите в ответе 5.

Бело4ка56 13 июн. 2021 г., 23:48:05 | 10 - 11 классы

Помогите, пожалуйста?

Помогите, пожалуйста.

Срочно

1)40√3 cosπ / 6 cos5π / 3

2)8√6 cosπ / 4 cos5π / 6

3)14√6 cosπ / 6 cos3π / 4

4)28 / (sin( - 25π / 4)cos(23π / 4))

5)23 / (sin( - 23π / 6)cos(23π / 3))

6)60 / (sin( - 32π / 3)cos(35π / 6))

7)54 / (sin( - 28π / 3)cos(23π / 6))

8)33√2cos(495°).

Настя5081 11 авг. 2021 г., 02:26:41 | 5 - 9 классы

Tg2x = cosπ√3 + 2cos4x = 0 срочно помогите время мало?

Tg2x = cosπ

√3 + 2cos4x = 0 срочно помогите время мало.

Зина44 9 июл. 2021 г., 16:10:12 | студенческий

Довести тотожність / довести тождество?

Довести тотожність / довести тождество.

Irka11 7 авг. 2021 г., 22:28:40 | 1 - 4 классы

Очень срочно?

Очень срочно!

Довести тотожність.