Как найти такую площадь?

Lyli 5 июн. 2018 г., 02:23:16

Рисунок во вложении.

$S=\iint\limits_Ddxdy$

Сведём данный интеграл к повторному.

$\iint\limits_Ddxdy=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx\int\limits_{f_1(x)}^{f_2(x)}dy$

Сначала нам нужно узнать в какие пределах изменяется х, для этого найдём точки пересечения графиков(на рисунке это точки х1 и х2) :

2sinx = 1

sinx = 1 / 2

x = ( - 1) ^ n * arcsin(1 / 2) + π * n, n∈Z

Из этого уравнения выбираем точки которые входят в промежуток от [0 ; pi] :

n = 0 = > ; x = arcsin(1 / 2) = π / 6 (x1 на рисунке)

n = 1 = > ; x = - arcsin(1 / 2) + π = - π / 6 + π = 5π / 6 (х2 на рисунке)

Это и буду наши пределы интегрирования по х.

Теперь нам нужно узнать в какие пределах у нас изменяется y, для этого на рисунке проведём прямую проходящую через нашу фигуру и параллельную оси y.

Теперь смотрим через какую линию она входит, и через какую выходит.

Входит наша прямая через линию х = 1, а выходит через линию y = 2sinx, значит у изменяется от 1 до 2sinx.

Ну вот и всё, нашли пределы интегрирования, подставляем и считаем :

$S=\iint\limits_Ddxdy=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}dx\int\limits_{1}^{2sinx}dy=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}(y|^{2sinx}_1)dx=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}(2sinx-1)dx=\\=(-2cosx-x)|^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}}=-2cos\frac{5\pi}{6}-\frac{5\pi}{6}-(-2cos\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6})=\\=-2*(-\frac{\sqrt{3}}{2})-\frac{5\pi}{6}+2*\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}=2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$.

Kozarienko1975 3 февр. 2018 г., 16:59:30 | 10 - 11 классы

Помогите пожалуйста дорешать интегралы?

Помогите пожалуйста дорешать интегралы.

Молекула2002 13 авг. 2018 г., 05:02:46 | 10 - 11 классы

Помогите, пожалуйста с решением интегралов?

Помогите, пожалуйста с решением интегралов.

Kulchickaya19 8 февр. 2018 г., 06:42:22 | 5 - 9 классы

Помогите найти неопределённые интегралы ( если можно по подробнее)?

Помогите найти неопределённые интегралы ( если можно по подробнее).

Лисиса 20 авг. 2018 г., 09:50:59 | 5 - 9 классы

Помогите?

Помогите!

Найти не определенные интегралы ( если можно по подробнее ).

Ashabalt 5 сент. 2018 г., 04:55:31 | 10 - 11 классы

Помогите найти интегралы пошаговое решение пожалуйста?

Помогите найти интегралы пошаговое решение пожалуйста.

Мини4 13 февр. 2018 г., 00:44:51 | 10 - 11 классы

Помогите решить интегралы, пожалуйста?

Помогите решить интегралы, пожалуйста!

Gameboxis 17 сент. 2018 г., 12:40:00 | 10 - 11 классы

Помогите пожалуйста с интегралами?

Помогите пожалуйста с интегралами.

Asuna100 10 июн. 2018 г., 16:36:22 | 10 - 11 классы

Помогите с интегралами(площадь ограниченной трапеции), желательно с рисунком?

Помогите с интегралами(площадь ограниченной трапеции), желательно с рисунком.

Vakeriya431 17 дек. 2018 г., 02:17:09 | 10 - 11 классы

Помогите пожалуйста)))) двойные интегралы?

Помогите пожалуйста)))) двойные интегралы.

Luka0500 3 апр. 2018 г., 18:04:41 | 10 - 11 классы

Помогите пожалуйста решить интегралы?

Помогите пожалуйста решить интегралы.