Исследовать функцию на экстремумы с помощью производной?

Leshakhanzyaro123 26 нояб. 2021 г., 18:59:10

Исследовать функцию y = x² / (x - 2)на экстремумы с помощью производной - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1.

ООФ (Область Определения Функции ) : x∈( - ∞ ; 2)∪(2 ; ∞) * * * x≠2 * * *

2.

X = 2 является точкой разрыва второго рода

Lim x² / (x - 2) = - ∞ ; Lim x² / (x - 2) = ∞ .

X→2 - 0.

X→2 + 0

3.

График функции проходит через начало координат ( x = 0 ; y = 0).

4. Экстре́мум_ максимальное или минимальное значениефункциина заданном множестве .

Если в точке x₀есть экстремум, толибо значения y ' = 0либоне существует(вместекритические точки) и меняет знак при переходе черезx₀.

_если при переходе через точкупроизводная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума ;

–если при переходе через точкупроизводная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.

- - - - - - -

Вычисляем производную даннойфункции (поформуле производной дроби)

y ' = (x² / (x - 2) ) ' = ((x²) ' * (x - 2) - x² * (x - 2)' ) / (x - 2)² = (2x(x - 2) - x² * 1) / (x - 2)² = = x(x - 4) / (x - 2)² .

Y' = x(x - 4) / (x - 2)².

Найдем критические точки функции : y ' = 0 илиy ' не существует.

А)y ' = 0

x(x - 4) / (x - 2)² = 0 ⇒ x = 0 или x = 4.

B)Производная несуществуетв точке x = 2 , ноэта точка не принадлежит ООФ .

- - -

Определяем промежуткимонотонности функции(зависит от знака производной функции)

Если :

y'< 0⇒ функция убывает(условно обозначаем знаком "↓" ;

y ' >0⇒функциявозрастает(условно обозначаем знаком "↑" .

Методом интервалов :

y ' " + " " - " " + " - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( 0) - - - - - - - - - - 2° - - - - - - - - - - - - (4 ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y (возрастает) ↑ max (убывает)↓ min (возрастает)↑

x = 0 иx = 4 являются точками экстремумов

x = 0 точка максимума→максимальное значение (локальное) :

max (y) = y(0) = 0² / (0 - 2) = 0 ;

x = 4 точка минимума→минимальное значение(локальное) :

min(y) = y(4) = 4² / (4 - 2) = 16 / 2 = 8.

Ответ : Экстремумы : y = 0 _ максимальное значение (локальное) в точке x = 0 ; y = 8 _минимальное значение (локальное) в точке x = 4.

Короче экстремумы y(0) = 0 →максимальное значение ; y(4) = 8→минимальное значение.

(Дополнительно и приведен график функции в прикрепленном файле)

Удачи Вам !

Anyaneo 26 нояб. 2021 г., 18:59:11

Производная (2х(х - 2) - х ^ 2) / (х - 2) ^ 2 = (х ^ 2 - 4х) / (х - 2) ^ 2 = (х(х - 4)) / (х - 2) ^ 2

(х(х - 4)) / (х - 2) ^ 2 = 0

х = 0 и х = 4 ; х≠2

Хмах = 4 ; Умах = 8

Хмин = 0 ; Умах = 0.

Vampire312222 4 июл. 2021 г., 13:25:13 | 10 - 11 классы

ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОИТЬ ЕЕ ГРАФИК :y = 1 / 3 x ^ 3 - 2x ^ 2 + 3x?

ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОИТЬ ЕЕ ГРАФИК :

y = 1 / 3 x ^ 3 - 2x ^ 2 + 3x.

Полина1109744 26 мар. 2021 г., 21:27:07 | 10 - 11 классы

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график y = 1 / 3x ^ 3 - 2x ^ 2 + 3x?

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график y = 1 / 3x ^ 3 - 2x ^ 2 + 3x.

BFMV 25 авг. 2021 г., 13:10:24 | 10 - 11 классы

При исследовании функции на монотонность и экстремумы x не существует что делать ?

При исследовании функции на монотонность и экстремумы x не существует что делать ?

(исследую функцию с помощью производной).

DANCH2002 17 мар. 2021 г., 05:12:48 | студенческий

Исследовать функцию на экстремум y = - 3x ^ 2 + 12x?

Исследовать функцию на экстремум y = - 3x ^ 2 + 12x.

12345678910111314 27 июл. 2021 г., 01:47:24 | 10 - 11 классы

Исследовать функцию на экстремум?

Исследовать функцию на экстремум.

Майя371 15 мар. 2021 г., 13:41:20 | студенческий

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график y = 2x ^ 3 - 3x ^ 2 - 12x - 1?

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график y = 2x ^ 3 - 3x ^ 2 - 12x - 1.

Nicton152 1 авг. 2021 г., 02:32:21 | 10 - 11 классы

Исследовать функцию y = 1 / (x ^ 2 - 7x + 12) с помощью производной и построить её график?

Исследовать функцию y = 1 / (x ^ 2 - 7x + 12) с помощью производной и построить её график.

Rimsckyvowa 9 июн. 2021 г., 08:54:03 | 5 - 9 классы

Исследовать функцию на экстремум?

Исследовать функцию на экстремум.

Eriksevyan 28 авг. 2021 г., 03:40:14 | 10 - 11 классы

Исследовать функцию на экстремум и построить ее график y = - 1 / 9x ^ 3 + 3x?

Исследовать функцию на экстремум и построить ее график y = - 1 / 9x ^ 3 + 3x.

Uliabakuleva23 22 июл. 2021 г., 11:36:09 | 10 - 11 классы

Срочно?

Срочно!

Исследовать функцию с помощью второй производной : f(x) = x ^ 4 - 18x ^ 2 + 4.