Предел последовательности?

Angelina1903 20 мар. 2021 г., 11:01:31

Докажем более общее утверждение, откуда и получим нужный результат.

Вначале для удобства докажем лемму :

Лемма 1 :

Для всех$a\ \textgreater \ 0$, $\displaystyle \lim _{n\to \infty} \sqrt[n]{a} =1$.

Доказательство :

Предположим поначалу что$a \geq 1$.

Обозначим$a_n= \sqrt[n]{a} -1$ и докажем что$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0$.

Используя неравенство Бернулли получаем,

$\displaystyle a=(1+a_n)^n \geq 1+na_n\ \textgreater \ na_n$ (для всех$n\in \mathbb N$)

Следовательно,

$\displaystyle 0 \leq a_n \ \textless \ \frac{a}{n}$

Откуда из теоремы о двух милиционерах выводим,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0$

Следовательно,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} (1+a_n )=1+ \lim_{n \to \infty} a_n =1$

Что и требовалось.

Осталось доказать лемму для[img = 10].

Так как[img = 11], мы можем воспользоваться уже тем что доказали ранее :

[img = 12]

Откуда получаем,

[img = 13]

Ч.

Т. Д.

Утверждение :

Пусть[img = 14], тогда

[img = 15]

Доказательство :

Пусть[img = 16] число выполняющее [img = 17].

Для всех[img = 18] выполняется,

[img = 19]

А также,

[img = 20]

Следовательно,

[img = 21]

То есть,

[img = 22]

Из Леммы 1 следует :

[img = 23]

Откуда при помощи теоремы о двух милиционерах получаем,

[img = 24]

Ч.

Т. Д.

Теперь с легкостью находим нужный нам предел :

[img = 25].

Мамараготик 2 июн. 2021 г., 16:34:45 | 10 - 11 классы

Вычислите предел функции, числовой последовательности раскрыв неопределенность типа?

Вычислите предел функции, числовой последовательности раскрыв неопределенность типа.

Cool4321 6 июл. 2021 г., 09:32:35 | 10 - 11 классы

Объясните, пожалуйста?

Объясните, пожалуйста.

Почему 0 - 0 + 0 / 1 - 0.

Тема : "предел последовательности".

Dima8132 8 авг. 2021 г., 22:20:43 | 10 - 11 классы

Помогите пж вычислить предел последовательности?

Помогите пж вычислить предел последовательности.

Maxine1999 14 мая 2021 г., 11:30:45 | 10 - 11 классы

Заданы две последовательности xn = 2014√(n + 1) и yn = 2014√n?

Заданы две последовательности xn = 2014√(n + 1) и yn = 2014√n.

Найдите предел последовательности {zn}, где zn = xn−yn.

Если предела не существует, укажите в ответе −1.

Gfauzullina 16 янв. 2021 г., 14:44:03 | 5 - 9 классы

Ребят, помогите пожалуйста?

Ребят, помогите пожалуйста.

Буду благодарен.

Предел последовательности найдите.

Tenshialisa 5 мар. 2021 г., 11:29:32 | 10 - 11 классы

Найдите предел последовательности xn = (n ^ √2n + 3n)?

Найдите предел последовательности xn = (n ^ √2n + 3n).

Если предела не существует, укажите в ответе - 1.

Snuw 10 авг. 2021 г., 07:11:43 | 10 - 11 классы

Найдите предел последовательности xn = 1 / (n + 1)⋅cosπ / 2n?

Найдите предел последовательности xn = 1 / (n + 1)⋅cosπ / 2n.

В ответе укажите квадрат предела последовательности.

Если последовательность не сходится, то укажите в ответе 5.

Samvel2005 12 мая 2021 г., 18:51:52 | 10 - 11 классы

Найти предел последовательности ?

Найти предел последовательности :

Dankamanka 6 нояб. 2021 г., 19:13:18 | 5 - 9 классы

Исследуйте данные последовательности(используя предел функции), почему так?

Исследуйте данные последовательности(используя предел функции), почему так?

Распишите подробно, пожалуйста.

Котеечка11 5 сент. 2021 г., 02:36:34 | 5 - 9 классы

Последовательность?

Последовательность.

Пределы.

Решите пожалуйста 3 - 4 примера.