[tex] \ int \ limits ^ \ infty_0 { \ frac{5sinx}{x} \ , dx [ / tex]?

Кира9 24 янв. 2021 г., 07:03:09

$A=\int \limits _0^{\infty }\frac{sinx}{x}dx$

Рассмотрим функцию $I(t)=\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot \frac{sinx}{x}dx\; ,\; \; t \geq 0$ .

Тогда $A=I(0)$ .

Дифференцируя под знаком интеграла по переменной t получим :

$I'(t)=-\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot sinx\, dx$

Этот интеграл легко вычисляется при t>0 по частям :

$I'(t)=\frac{1}{t}\cdot \int \limits _0^{\infty }sinx\cdot d(e^{-tx})=[\int u\, dv=uv-\int v\, du\; ]=\\\\=\frac{1}{t}(sinx\cdot e^{-tx}|_0^{\infty }-\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot cosx\, dx)=\\\\=\frac{1}{t^2}(cosx\cdot e^{-tx}|_0^{\infty }+\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot sinx\, dx)=\frac{1}{t^2}\Big (-1-I'(t)\Big )\\\\I'(t)=\frac{1}{t^2}\Big (-1-I'(t)\Big )\; \; \to \; \; I'(t)=-\frac{1}{1+t^2}$

Интегрируя полученное соотношение находим

$I(t)=-\int \frac{dt}{1+t^2}=-arctgt+C$

Постоянную С находим из условия $I(+\infty )=0$ .

$\\0=-\frac{\pi}{2}+C\; \; \to \; \; \; C=\frac{\pi}{2}\\\\I(t)=\frac{\pi}{2}-arctgt$

Функция $I(t)$ непрерывна, поэтому искомый интеграл может быть найден с помощью предельного перехода :

$\int\limits^{\infty }_0 {\frac{sinx}{x}dx} =I(0)=\lim\limits _{t\to 0}I(t)=\lim\limits _{t\to 0}(\frac{\pi}{2}-arctgt)=\frac{\pi}{2}\\\\\\ \int\limits^{\infty }_0 {\frac{5sinx}{x}} \, dx =\frac{5\pi}{2}$.

Serdtse1998 20 июн. 2021 г., 01:39:59 | 10 - 11 классы

Только там - 1[tex] \ int \ limits ^ e_1 \ frac{dx}{3x}[ / tex]?

Только там - 1

[tex] \ int \ limits ^ e_1 \ frac{dx}{3x}

[ / tex].

Kris318 16 мар. 2021 г., 14:31:25 | 10 - 11 классы

Решить интегралы :1)a = pi ; b = - pi[tex] \ int \ limits ^ a_b {x * cosnx} \ , dx [ / tex][tex] \ int \ limits ^ a_b {cosnx} \ , dx [ / tex]?

Решить интегралы :

1)a = pi ; b = - pi

[tex] \ int \ limits ^ a_b {x * cosnx} \ , dx [ / tex]

[tex] \ int \ limits ^ a_b {cosnx} \ , dx [ / tex].

Tomic2010 23 июн. 2021 г., 03:59:28 | 5 - 9 классы

Помогите пожалуйста с неопределенными интегралами?

Помогите пожалуйста с неопределенными интегралами.

[tex] \ int \ limits x ^ {3} * (5x + 12 x ^ {2} - 3) dx [ / tex]

[tex] \ int \ limits \ frac{7 x ^ {3} + 4x ^ {2} - 5x }{ x ^ {2} } dx [ / tex]

[tex] \ int \ limits (9 x ^ {2} + 6x - 8) dx[ / tex].

969DeMon969 13 авг. 2021 г., 07:03:49 | 5 - 9 классы

Помогите пожалуйста с решением неопределенных интегралов?

Помогите пожалуйста с решением неопределенных интегралов.

[tex] \ int \ limits \ sqrt[5]{ x ^ {3} } dx[ / tex]

[tex] \ int \ limits \ frac{dx}{ \ sqrt[4]{x} } [ / tex].

Влад1398 30 нояб. 2021 г., 04:22:49 | 5 - 9 классы

Помогите с решением неопределенных интегралов?

Помогите с решением неопределенных интегралов.

[tex] \ int \ limits ( \ frac{1}{2} e ^ {x} + 3cosx - \ frac{1}{4x} ) dx[ / tex]

[tex] \ int \ limits ( \ frac{8}{sin ^ {2} x } + 3 ^ {x} - 5)dx[ / tex]

[tex] \ int \ limits ( \ frac{7}{ x ^ {4} } dx[ / tex].

Дима02062005 13 дек. 2021 г., 19:43:08 | 10 - 11 классы

Помогите, пожалуйста, с определенным интегралом [tex] \ int \ limits ^ e_0 {(e ^ ecosx)} \ , dx[ / tex][tex] \ int \ limits ^ e_1 {(2 \ sqrt{x} + 5 - 7x) / x} \ , dx [ / tex]?

Помогите, пожалуйста, с определенным интегралом [tex] \ int \ limits ^ e_0 {(e ^ ecosx)} \ , dx[ / tex]

[tex] \ int \ limits ^ e_1 {(2 \ sqrt{x} + 5 - 7x) / x} \ , dx [ / tex].

Дарья1037 10 июл. 2021 г., 13:48:52 | 10 - 11 классы

[tex] \ int \ limits ^ 9_0 {f(x)} \ , dx [ / tex]?

[tex] \ int \ limits ^ 9_0 {f(x)} \ , dx [ / tex].

Nermin5699 14 сент. 2021 г., 15:45:25 | 5 - 9 классы

Вычислить неопределенные интегралы методом ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ :а) [tex] \ int \ limits {x * e ^ { - x / 7} } \ , dx [ / tex]б) [tex] \ int \ limits { x ^ { - 5} * lnx } \ , dx [ / tex]?

Вычислить неопределенные интегралы методом ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ :

а) [tex] \ int \ limits {x * e ^ { - x / 7} } \ , dx [ / tex]

б) [tex] \ int \ limits { x ^ { - 5} * lnx } \ , dx [ / tex].

Apraksina9104 27 нояб. 2021 г., 22:10:48 | 10 - 11 классы

1) [tex] \ int \ limits ^ 2_1 {x} \ [ / tex] (2x - 1 / x ^ 2)dx =2) [tex] \ int \ limits ^ 3_ - 3 {x} \ [ / tex] x ^ 5dx =3) [tex] \ int \ limits ^ 2_1 {x} \ [ / tex] (3x ^ 2 - 2 / x ^ 3)dx =4) [tex] ?

1) [tex] \ int \ limits ^ 2_1 {x} \ [ / tex] (2x - 1 / x ^ 2)dx =

2) [tex] \ int \ limits ^ 3_ - 3 {x} \ [ / tex] x ^ 5dx =

3) [tex] \ int \ limits ^ 2_1 {x} \ [ / tex] (3x ^ 2 - 2 / x ^ 3)dx =

4) [tex] \ int \ limits ^ 5_ - 3 {x} \ [ / tex] (x ^ 3dx) =

Помогите, пожалуйста, с интегралами!

Буду очень благодарна

___

Очень трудно вводить символы в электронном виде >.

Nastya11111116648485 2 апр. 2021 г., 17:49:28 | 5 - 9 классы

Вычислить определенные интегралы :[tex] \ int \ limits ^ 1_0 {(5x ^ 4 - 6x ^ 5)} \ , dx [ / tex][tex] \ int \ limits ^ 1_ \ frac{1}{2} {(6x - 1) ^ 2} \ , dx [ / tex]?

Вычислить определенные интегралы :

[tex] \ int \ limits ^ 1_0 {(5x ^ 4 - 6x ^ 5)} \ , dx [ / tex]

[tex] \ int \ limits ^ 1_ \ frac{1}{2} {(6x - 1) ^ 2} \ , dx [ / tex].