Вычислить определенный интеграл [tex] \ int \ limits ^ b_a {sin(x)} \ , dx [ / tex]?

Natalia29012010 22 нояб. 2021 г., 08:51:55

$\int\limits^b_a {sin(x)} \, dx = -cos (x)|^b_a=-cos(b) +cos(a) = cos(a)-cos(b)$.

LenusicAg 22 нояб. 2021 г., 08:52:01

Т. к.

Sin(x) - непрерывная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с любыми точками на нем.

Разобьем [a, b] на n равных частей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков :

∑ sin(a + k * (b - a) / n) * (b - a) / n, где k = 0 .

N - 1

Далее преобразуем слагаемые в разности косинусов :

sin(a + k * (b - a) / n) = sin(a + k * (b - a) / n) * sin( (b - a) / 2n ) / sin( (b - a) / 2n ) = 1 / (2sin((b - a) / 2n)) * [cos(a + (k - 1 / 2) * (b - a) / n) - cos(a + (k + 1 / 2) * (b - a) / n)]

Здесь были применены формулы

cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)

cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)

Тогда sin(x)sin(y) = 1 / 2 (cos(x - y) - cos(x + y))

Где x = a + k * (b - a) / n, y = (b - a) / 2n

y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.

Исходная сумма ∑ sin(a + k * (b - a) / n) * (b - a) / n преобразуется к виду

(b - a) / n * 1 / (2sin( (b - a) / 2n )) * ∑ [cos(a + (k - 1 / 2) * (b - a) / n) - cos(a + (k + 1 / 2) * (b - a) / n)], k = 0 .

N - 1

Т.

К. cos(a + (k + 1 / 2) * (b - a) / n) = cos(a + ((k + 1) - 1 / 2) * (b - a) / n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось.

Т. е.

∑ [cos(a + (k - 1 / 2) * (b - a) / n) - cos(a + (k + 1 / 2) * (b - a) / n)] = cos(a - 1 / 2 (b - a) / n) - cos(a + (n - 1 / 2) * (b - a) / n)

При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)

Что касается коэффициента (b - a) / n * 1 / (2sin( (b - a) / 2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.

Е. (b - a) / n * 1 / (2sin( (b - a) / 2n )) ⇒ (b - a) / n * 1 / (2 * (b - a) / 2n)) = 1

Т.

Е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b - a) / n стремится к 0).

Mysterious442 15 янв. 2021 г., 09:44:35 | 10 - 11 классы

Вычислите интеграл [tex] \ int \ limits ^ \ frac{ \ pi }{3} _0 {e ^ {cosx} } \ , * sin x * dx[ / tex]?

Вычислите интеграл [tex] \ int \ limits ^ \ frac{ \ pi }{3} _0 {e ^ {cosx} } \ , * sin x * dx[ / tex].

Polina090997 4 авг. 2021 г., 06:26:51 | 10 - 11 классы

Вычислите интеграл?

Вычислите интеграл!

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ!

[tex] \ int \ limits ^ 4_1 \ frac{dx}{ \ sqrt{x} } [ / tex].

Volkovdanya56 29 июн. 2021 г., 13:55:33 | 5 - 9 классы

Решите определенный интеграл по частям[tex] \ int \ limits ^ 2_1 (4 x ^ {3} + 6x - 7) * lnx * dx [ / tex]?

Решите определенный интеграл по частям[tex] \ int \ limits ^ 2_1 (4 x ^ {3} + 6x - 7) * lnx * dx [ / tex].

Qasdxzcbggtjfgv 17 мая 2021 г., 08:45:17 | 10 - 11 классы

Как решить?

Как решить?

Определенный интеграл[tex][tex] \ int \ limits ^ \ frac{ \ pi }{4} _0 \ frac{xdx}{cos ^ 2x} [ / tex].

Nastya11111116648485 2 апр. 2021 г., 17:49:28 | 5 - 9 классы

Вычислить определенные интегралы :[tex] \ int \ limits ^ 1_0 {(5x ^ 4 - 6x ^ 5)} \ , dx [ / tex][tex] \ int \ limits ^ 1_ \ frac{1}{2} {(6x - 1) ^ 2} \ , dx [ / tex]?

Вычислить определенные интегралы :

[tex] \ int \ limits ^ 1_0 {(5x ^ 4 - 6x ^ 5)} \ , dx [ / tex]

[tex] \ int \ limits ^ 1_ \ frac{1}{2} {(6x - 1) ^ 2} \ , dx [ / tex].

Madadovnazimn 19 июн. 2021 г., 09:03:04 | 5 - 9 классы

Вычислите определенные интегралы :[tex] \ int \ limits ^ 4_2 {(x ^ 3 - 3x ^ 2)} \ , dx [ / tex][tex] \ int \ limits ^ { \ frac{1}{4}}_{ \ frac{1}{8}} (8x + 1) ^ 2 \ , dx [ / tex]?

Вычислите определенные интегралы :

[tex] \ int \ limits ^ 4_2 {(x ^ 3 - 3x ^ 2)} \ , dx [ / tex]

[tex] \ int \ limits ^ { \ frac{1}{4}}_{ \ frac{1}{8}} (8x + 1) ^ 2 \ , dx [ / tex].

Rkk 26 нояб. 2021 г., 08:18:55 | 5 - 9 классы

ПОМОГИТЕ?

ПОМОГИТЕ!

СКОРЕЕ!

Решите определенный интеграл!

[tex] \ int \ limits ^ \ frac{e}{3} _0 { e ^ {cos x} * sinx } \ , dx [ / tex].

DemetYusuf 1 июн. 2021 г., 01:21:50 | 5 - 9 классы

Вычислить интеграл Римана [tex] \ int \ limits ^ \ pi _0 {(xsinx) ^ 2} \ , dx [ / tex]?

Вычислить интеграл Римана [tex] \ int \ limits ^ \ pi _0 {(xsinx) ^ 2} \ , dx [ / tex].

Solga200326 5 авг. 2021 г., 02:23:21 | 10 - 11 классы

Вычислить определённый интеграл : [tex] \ int \ limits ^ 2_0 {(4x ^ 2 + x - 3)} \ , dx [ / tex]?

Вычислить определённый интеграл : [tex] \ int \ limits ^ 2_0 {(4x ^ 2 + x - 3)} \ , dx [ / tex].

Anna200023a 30 нояб. 2021 г., 04:01:15 | 10 - 11 классы

Вычислить определенный интеграл методом подстановки : [tex] \ int \ limits ^ 3_2 {(2x - 1) ^ 3} \ , dx ?

Вычислить определенный интеграл методом подстановки : [tex] \ int \ limits ^ 3_2 {(2x - 1) ^ 3} \ , dx .

[ / tex].