Сколько целых чисел входят в область значений функций?

BlackStar7 21 авг. 2021 г., 23:57:20

Отыщем область значений указанной функции.

Для этого сначала преобразуем определённым образом подкоренное выражение для удобства : раскроем скобки, затем дважды используем формулу понижения степени, приведя выражение к квадратному трёхчлену относительно некоторой функции.

$6 + 2 sin^{2} x - 6sin4x + cos2x + cos 8x = 6 + 1 - cos2x - 6sin4x + cos2x \\ + cos 8x = 7 - 6sin4x + cos8x = 7 - 6sin4x + 1 - 2 sin^{2} 4x = -2 sin^{2} 4x \\ - 6sin 4x + 8$

Таким образом, мы смогли привести подкоренное выражение к квадратному трёхчлену относительно sin4x.

На всякий случай скажу, что в препоследнем равенстве с помощью формулы понижения степени я выразил квадрат синуса через косинус удвоенного угла.

Теперь всё сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений полученного трёхчлена.

Если мы сделаем замену t = sin 4x, то получаем квадратный трёхчлен

$-2 t^{2} - 6t + 8$

, ветви соответствующей параболы которого направлены вниз в силу отрицательности коэффициента при квадрате.

Найдём её абсциссу оси симметрии :

$x_{0} = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{-4} = -1,5$.

Следовательно, квадратичная функция правее оси симметрии монотонно убывает, то есть, при $t \ \textgreater \ -1,5$.

Поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

В частности, это происходит и на отрезке $[-1,1]$.

Почему этот отрезок важен, так потому, что вспоминаем, что t - это у нас не переменная сама по себе, а синус, который принимает значения именно из указанного отрезка.

Итак, на отрезке [ - 1, 1] квадратный трёхчлен относительно t убывает, поэтому наименьшее его значение достигается в правом конце(в точке 1), а наибольшее - в левом(в точке - 1).

То есть,

$y_{min} = -2 * 1 - 6 * 1 + 8 = 0 \\ y_{max} = -2 * (-1)^{2} - 6 * (-1) + 8 = 12$, где $y = -2 sin^{2} 4x - 6sin4x + 8$.

То есть, $E(y) = [0, 12]$.

А тогда квадратный корень из этого выражения(в силу своей монотонности), даёт $[0, \sqrt{12} ]$.

Теперь считаем, какие целые числа входят в полученную область значений.

0, 1, 2, 3 - и всё.

Их ровно 4.

Мро6 25 мая 2021 г., 07:16:21 | 10 - 11 классы

Найдите область определения функции у = (sinx) / (1 - cosx)?

Найдите область определения функции у = (sinx) / (1 - cosx).

Annaengel21 16 июл. 2021 г., 18:32:51 | 10 - 11 классы

Решите уравнение (30 баллов)[tex]cos ^ 2x - \ sqrt{3} sinx * cosx = 0[ / tex]?

Решите уравнение (30 баллов)

[tex]cos ^ 2x - \ sqrt{3} sinx * cosx = 0[ / tex].

Mariyastudiya 7 апр. 2021 г., 16:37:05 | 5 - 9 классы

Sinx cosx - sin²x - cosx + sinx = 0 решите?

Sinx cosx - sin²x - cosx + sinx = 0 решите.

Nastasya29 31 мар. 2021 г., 18:42:12 | 10 - 11 классы

Помогите пожалуйста?

Помогите пожалуйста!

[tex]cosx \ geq - \ frac{ \ sqrt{2}}{2}[ / tex]

[tex] cosx \ leq \ frac{ \ sqrt{3}}{2}[ / tex].

Sashazhevnyak406 8 сент. 2021 г., 13:21:32 | 10 - 11 классы

Найдите область значений функции y = sin ^ 2x - cosx - 1?

Найдите область значений функции y = sin ^ 2x - cosx - 1.

Кузбасс123 18 июл. 2021 г., 14:06:41 | 5 - 9 классы

Найдите производную из под корня [tex] \ sqrt{1 - cosx} [ / tex]?

Найдите производную из под корня [tex] \ sqrt{1 - cosx} [ / tex].

Vrahmai 25 мая 2021 г., 00:31:08 | 5 - 9 классы

Найдите [tex]16(sin ^ 3x + cos ^ 3x)[ / tex], если [tex]sinx + cosx = 0?

Найдите [tex]16(sin ^ 3x + cos ^ 3x)[ / tex], если [tex]sinx + cosx = 0.

5[ / tex].

Eachaikina 30 авг. 2021 г., 09:54:11 | 10 - 11 классы

Найдите область значений функций :[tex]f(x) = \ frac{ sin ^ {2}x }{sinx} + \ frac{ cos ^ {2}x}{cosx} [ / tex]?

Найдите область значений функций :

[tex]f(x) = \ frac{ sin ^ {2}x }{sinx} + \ frac{ cos ^ {2}x}{cosx} [ / tex].

Almaxmus 21 окт. 2021 г., 13:13:22 | 10 - 11 классы

Найдите область определения функции y = √cosx / sinx + 1?

Найдите область определения функции y = √cosx / sinx + 1.

Dinamiss 13 июл. 2021 г., 16:31:24 | студенческий

[tex]y = \ sqrt{sinx} - \ sqrt{16 - x ^ {2}} [ / tex] найти область определения функции?

[tex]y = \ sqrt{sinx} - \ sqrt{16 - x ^ {2}} [ / tex] найти область определения функции.