+ ∞ ∑ \ frac{3 ^ {n} + ( - 4) ^ {n}}{12 ^ {n} } n = 1 исследовать сходимость ряда, в случае сходимости найти его сумму, пожалуйста помоги ни на кого надежды нет больше?

Gulfiyard 23 мар. 2021 г., 03:25:14

Исследовать сходимость ряда Σ$\frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n}}$, в случае сходимости найти его сумму.

Решение :

Для исследования сходимости удобно в начале представить данный ряд как сумму двух рядов положительного и знакопеременного

Σ$\frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n} }= \frac{3 ^{n}}{12^{n} }+ \frac{(-4) ^{n}}{12^{n} }=\frac{1}{4^{n} }+ \frac{1}{(-3)^{n} }$

Оба ряда исследуем на сходимость применяя радикальный признак Коши.

Если$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\ \textless \ 1$, то числовой ряд сходится.

Положительный ряд

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{4^n} }= \frac{1}{4} \ \textless \ 1$

Следовательно первый ряд сходится

Второй ряд знакопеременный так как при четных значениях n значения ряда положительные при нечетных значениях n значения ряда отрицательные.

Данный ряд сходится если сходится такой же полностью положительный ряд.

Сходимость положительного ряда докажем аналогично предыдущему ряду.

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{3^n} }= \frac{1}{3} \ \textless \ 1$

Из сходимости положительного ряда следует сходимость знакопеременного ряда.

Следовательно из сходимости двух рядов следует сходимость суммы этих рядов илиисходного ряда.

Найдем суммы этих рядов представляющих собой бесконечную геометрическую прогрессию.

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Для первого ряда

$S = \frac{ \frac{1}{4} }{1- \frac{1}{4} }= \frac{1}{3}$

Для второго ряда

$S = \frac{ \frac{-1}{3} }{1- \frac{1}{3} }= -\frac{1}{4}$

Находим сумму исходного ряда

$S= \frac{1}{3}- \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.

Ghbotgf 3 янв. 2021 г., 11:08:27 | 10 - 11 классы

Исследовать числовой ряд на сходимость ?

Исследовать числовой ряд на сходимость :

Olga576 5 янв. 2021 г., 10:58:59 | 10 - 11 классы

Исследовать ряд на сходимость ∞∑ n = 1 n?

Исследовать ряд на сходимость ∞∑ n = 1 n!

/ 3 ^ n.

Vovadonchenko 13 янв. 2021 г., 19:01:22 | 10 - 11 классы

Помогите пожалуйста, исследовать ряд на сходимость ∑ ( - 1) ^ n / sqrt (n + 1)?

Помогите пожалуйста, исследовать ряд на сходимость ∑ ( - 1) ^ n / sqrt (n + 1).

Daryaa2 1 июн. 2021 г., 11:32:51 | 10 - 11 классы

Помогите, пожалуйста, исследовать на сходимостьнесобственный интеграл от 0 до ∞ :∫(x²)dx / (1 + x⁶)?

Помогите, пожалуйста, исследовать на сходимость

несобственный интеграл от 0 до ∞ :

∫(x²)dx / (1 + x⁶).

Bordenkova80 10 сент. 2021 г., 12:16:32 | 10 - 11 классы

Помогите, пожалуйста, исследовать на сходимостьнесобственный интеграл : от 0 до 1 :∫x²lnxdx?

Помогите, пожалуйста, исследовать на сходимость

несобственный интеграл : от 0 до 1 :

∫x²lnxdx.

Dragon8682 28 июл. 2021 г., 13:02:34 | 5 - 9 классы

Найти несобственные интеграл на сходимость Очень надо?

Найти несобственные интеграл на сходимость Очень надо.

Artemklimov2006 7 июн. 2021 г., 11:24:19 | студенческий

Помогите Исследовать ряд на сходимость?

Помогите Исследовать ряд на сходимость.

Zulfiyagaynuli 4 окт. 2021 г., 21:49:10 | 10 - 11 классы

Всем привет помогите с рядом сходимости?

Всем привет помогите с рядом сходимости.

Диана937363927 31 мар. 2021 г., 00:58:03 | студенческий

1) Исследовать на сходимость знакопеременный ряд2)Исследовать ряд на сходимость?

1) Исследовать на сходимость знакопеременный ряд

2)Исследовать ряд на сходимость.

Belliy2000 9 авг. 2021 г., 15:14:26 | студенческий

МАТАН, первый курс, кто может, помогите (последние 3 задания, или хотя бы одно из них) (найти область сходимости степенного ряда)?

МАТАН, первый курс, кто может, помогите (последние 3 задания, или хотя бы одно из них) (найти область сходимости степенного ряда).