Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при x = 0?

Арина123456789а 15 июл. 2018 г., 09:39:27

Сначала решим общее однородное уравнение :

y'' - 4y' + 3y = 0

Для этого составим характеристическое уравнение :

$\lambda^2-4\lambda+3=0$

Находим корни, получаем :

$\lambda_1=1, \lambda_2=3$

Тогда общее решение однородного уравнения запишется как :

$y(x)=C_1e^{\lambda_{1}x}+C_2e^{\lambda_{2}x}=C_1e^{x}+C_2e^{3x}$

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения.

Попробуем подобрать его, вообще тут видно, что частное решение этого уравнения будет $y(x)=-3e^{2x}$

Если такой вариант нахождения частного решения не подходит, то можно решать все долго и по формулам :

для этого воспользуемся методом вариации постоянной, дл это представим C1 и С2 как функции от х и решим все по формуле :

$\left \{ {{C'_{1}(x)e^x+C'_{2}(x)e^3x=0} \atop {C'_{1}(x)e^x+3C'_{2}(x)e^3x=3e^{2x}}} \right.$

Разделим первое и второе уравнениея на $e^x$ , выразим из 1го уравнения $C'_{1}(x)$ получим $C'_1(x)=-C'_2(x)e^{2x}$

Теперь подставим это во второе уравнение и получим, после всех сокращений :

$C'_2(x)=\frac{1}{2}, C_2(x)=\frac{x}{2}$ Теперь найдем C1(x)

$C'_1(x)=-\frac{1}{2}e^{2x}, C_1(x)=-\frac{1}{4}e^{2x}$

Подставляем найденные C1 и C2 и получаем :

Частное решение в виде :

[img = 10]

Теперь найдем общее решение :

Y(x) = общее решение однородного уравнения + частное решение неоднородного уравнения

Я думаю что стоить взять частное решение которое было получено подбором, потому что оно проще, да и я мог где нибудь ошибиться в расчетах, поэтому :

[img = 11] (1)

Теперь решаем задачу Коши :

Она заключается в нахождении C1 и C2

Все просто, подставим в решение (1) вместо x число 0, а вместо y число 2 (это соответсвует y(0) = 2)

[img = 12]

Теперь возьмем производную и подставим в нее вместо x ноль, а вместо y - 1

[img = 13]

[img = 14]

Получили систему уравнение :

[img = 15]

Отсюда C2 = 0, C1 = 5.

Теперь запишем ответ :

ОТВЕТ : [img = 16].

Dashcrilova 2 мар. 2018 г., 03:42:21 | 10 - 11 классы

Y ^ 2 dx = e ^ x dy y(0) = 4 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям?

Y ^ 2 dx = e ^ x dy y(0) = 4 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям.

Albert0 6 окт. 2018 г., 08:07:00 | 10 - 11 классы

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при?

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при.

ALØNA 2 авг. 2018 г., 11:47:08 | 10 - 11 классы

Найти общее решение дифференциального уравнения у(штрих) + у / х = 1?

Найти общее решение дифференциального уравнения у(штрих) + у / х = 1.

Kirito2025 13 апр. 2018 г., 23:17:30 | 10 - 11 классы

Что означает "Найти общее решение дифференциального уравнения"?

Что означает "Найти общее решение дифференциального уравнения"?

Vhivilevv 27 сент. 2018 г., 10:17:36 | 10 - 11 классы

Найти общее решение дифференциального уравнения?

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Аиша16 13 окт. 2018 г., 16:17:44 | 10 - 11 классы

Найти общее решение дифференциальных уравнений у" - 3у' - 10y = 0?

Найти общее решение дифференциальных уравнений у" - 3у' - 10y = 0.

Лолка122 8 авг. 2018 г., 07:01:56 | 5 - 9 классы

Помогите пожалуйста?

Помогите пожалуйста!

50баллов!

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Larisamalahova 19 авг. 2018 г., 11:40:21 | 10 - 11 классы

Y" = y'e ^ y найти общее решение дифференциального уравнения?

Y" = y'e ^ y найти общее решение дифференциального уравнения.

Vadimlitvinov82 8 окт. 2018 г., 16:08:49 | 5 - 9 классы

Найти частное решение дифференциального уравнения по заданному начальном условию : y' - ((2x - 5) \ x ^ 2) * у = 5 у(5) = 25?

Найти частное решение дифференциального уравнения по заданному начальном условию : y' - ((2x - 5) \ x ^ 2) * у = 5 у(5) = 25.

ДанилКузнецов 29 дек. 2018 г., 22:17:16 | 10 - 11 классы

Найти общее решение дифференциального уравненияy" = y'e ^ y?

Найти общее решение дифференциального уравнения

y" = y'e ^ y.