Найдите сумму первых семи членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если известно, что её второй член равен 4, а отношение суммы квадратов всех членов прогрессии к сумме всех её членов ра?

Cbuyf 12 окт. 2018 г., 18:13:53

Сумма квадратов членов прогрессии может быть записана в виде S1 = b1² * (1 + q² + q⁴ + q⁶ + .

). В скобках стоит бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем q².

Вусловии данабесконечно убывающая геометрическая прогрессия, а это значит, что её знаменатель q удовлетворяет условию 0< ; q< ; 1.

Но тогда и 0< ; q²< ; 1, то есть прогрессия в скобках имеет сумму, равную 1 / (1 - q²).

Тогда S1 = b1² / (1 - q²).

А сумма заданной в условии прогрессии S2 = b1 / (1 - q).

По условию, S1 / S2 = b1 / (1 + q) = 16 / 3.

С другой стороны, по условию b2 = b1 * q = 4.

Мы получили систему из двух уравнений для определения b1 и q :

b1 / (1 + q) = 16 / 3 ;

b1 * q = 4

Из второго уравнения находим q = 4 / b1.

Подставляя это выражение в первое уравнение, приходим к уравнению b1² / (b1 + 4) = 16 / 3, которое приводится к квадратному уравнению 3 * b1² - 16 * b1 - 64 = 0.

Дискриминант D = ( - 16)² - 4 * 3 * ( - 64) = 1024 = 32².

Тогда b1 = (16 + 32) / 6 = 8,

b2 = (16 - 32) / 6 = - 16 / 6 = - 8 / 3.

Но так как прогрессия по условию - убывающая, то b1> ; b2.

Значит, b1 = 8.

Тогда q = b2 / b1 = 4 / 8 = 1 / 2 и искомая сумма S7 = 8 * ((1 / 2)⁷ - 1) / (1 / 2 - 1) = 8 * (1 - (1 / 2)⁷) / (1 - 1 / 2) = 16 * (1 - (1 / 2)⁷) = 16 * (1 - 1 / 128) = 16 * 127 / 128 = 127 / 8.

Ответ : 127 / 8.

VeronikaCraft 1 февр. 2018 г., 01:25:55 | 5 - 9 классы

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма первых пяти членов - 31?

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма первых пяти членов - 31.

Найдите первый член прогрессии.

ЛораКора 8 мар. 2018 г., 13:20:08 | 10 - 11 классы

Найдите сумму S бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма первого и второго членов равна 3, а произведение первого и третьего членов равно 36?

Найдите сумму S бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма первого и второго членов равна 3, а произведение первого и третьего членов равно 36.

Alisakin 20 окт. 2018 г., 02:40:51 | 10 - 11 классы

Сумма первых пяти членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна , а последующих пяти членов равна ?

Сумма первых пяти членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна , а последующих пяти членов равна .

Найдите сумму всех членов прогрессии.

Borovikova20021 24 июн. 2018 г., 14:26:45 | 5 - 9 классы

Все члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии положительны, а их сумма равна 8, сумма ее первых четырех членов равна 15 / 2?

Все члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии положительны, а их сумма равна 8, сумма ее первых четырех членов равна 15 / 2.

Найдите первый член прогрессии.

Chierov 2 апр. 2018 г., 04:37:30 | 5 - 9 классы

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 243, а ее первый член 81?

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 243, а ее первый член 81.

Вычислите пятый член этой геометрической прогрессии.

Vampir4k2001667 27 июн. 2018 г., 12:25:55 | 10 - 11 классы

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ СРОЧНО?

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ СРОЧНО!

Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если второй ее член равен 6, а сумма этой прогрессии в 8 раз меньше суммы квадратов ее членов.

Undertaker9 21 июн. 2018 г., 07:48:13 | 5 - 9 классы

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма ее первых пяти членов - 31?

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма ее первых пяти членов - 31.

Найдите первый член прогресии.

Dashaflora3 26 сент. 2018 г., 13:16:56 | 5 - 9 классы

Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна 3 / 4 а сумма кубов ее членов равна 27 / 208?

Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна 3 / 4 а сумма кубов ее членов равна 27 / 208.

Найдите сумму квадратов членов прогрессии.

Nesteruk99 7 сент. 2018 г., 09:30:51 | 10 - 11 классы

Найти сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < ; 1, если ее второй член равен 4, а отношение сумму квадратов членов к сумме членов равно 16 / 3?

Найти сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < ; 1, если ее второй член равен 4, а отношение сумму квадратов членов к сумме членов равно 16 / 3.

Лиза263 9 июл. 2018 г., 22:42:13 | 5 - 9 классы

Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна 3 / 4 а сумма кубов ее членов равна 27 / 208?

Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна 3 / 4 а сумма кубов ее членов равна 27 / 208.

Найдите сумму квадратов членов прогрессии.